Nombres premiers jumeaux

mercredi 1er avril 2015
par  André SEGUIN

L’année 2015 verra peut-être la conjecture des nombres premiers jumeaux s’éteindre. De grandes avancées ont été réalisé ces deux dernières années à la suite d’une publication de Yitang Zhang. Celle-ci prouve qu’il existe une infinité de couples (p, p’) de nombres premiers tels que la différence p’p est inférieure à 70 106.

Un groupe « polymath8 » a même été crée, il regroupe des mathématiciens illustres tel Terence Tao. Son objectif est d’améliorer la majoration trouvée par Yitang Zhang et si possible la ramener à 2. Le travail d’un jeune mathématicien, James Maynard, a déjà permis de la ramener à quelques centaines.

Le moment me paraît donc bien choisi pour sensibiliser les élèves de classes terminales et leurs professeurs sur un sujet qui défit l’esprit depuis des siècles : « Existe-t-il une infinité de paires de nombres premiers jumeaux ? »

Le court texte qui suit ne cherche pas à démontrer la conjecture, ni à donner, en une poignée de secondes, la liste des paires de nombres premiers jumeaux inférieures à 10 000 000. Dans une première partie, il donne une interprétation géométrique du résultat de Yitang Zhang qui mène à l’énoncé d’une conjecture équivalente à celle des nombres premiers jumeaux et, dans une deuxième partie, il met en évidence un crible qui permet de déterminer les premières paires en s’inspirant du crible d’Ératosthène pour les nombres premiers. Le logiciel Xcas permet de mettre en œuvre le crible.

La lecture est aisée pour un élève qui s’intéresse aux mathématiques. Seule une allusion au postulat de Bertrand : « pour n > 1, il existe un nombre premier strictement compris entre n et 2n », sort du programme.

Il me semble que les amateurs de dénombrement, comme le fut certainement Viggo Brun en son temps, en tireront profit pour faire quelques pas vers la conjecture, des pas qui sans nul doute les mèneront vers le Capitole.

Sommaire

  • Introduction
  • Notations et définitions
  • Première partie
    • Interprétation géométrique du résultat de Yitang Zhang
    • Propriétés élémentaires de la fonction z
    • Retour sur le résultat de Yitang Zhang
    • Équivalence de deux conjectures
  • Deuxième partie
    • Le crible d’Ératosthène pour les nombres premiers jumeau
    • Antécédents
    • Écriture d’un antécédent
    • À la manière d’Ératosthène
    • Le principe
    • Le programme

Documents joints

Nombres premiers jumeaux
Nombres premiers jumeaux
André Seguin

Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 28 novembre 2018, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6.
- Mercredi 13 février 2019, 14h-18h, campus du Tampon.
- Mercredi 6 mars 2019, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6.
- Mercredi 10 avril 2019, 14h-18h, campus du Tampon.

Colloque EDIM-IREM

- Mercredi 5 juin 2019, 9h-12h et 14h-17h, Saint-Denis.

Fête de la science

- Du 10 au 18 novembre 2018. Thème : « Idées reçues ».

Semaine des mathématiques et congrès MATh.en.JEANS

- Du 25 au 31 mars 2019. Thème : « Jouons ensemble aux mathématiques ».


Brèves

Promenade singulière sur les points singuliers

vendredi 24 août

Le livre promenades d’Étienne Ghys est disponible au téléchargement sur le site de l’ENS de Lyon. Largement illustré, ce livre consacré à un problème de Maxime Kontsevitch dont l’énoncé est plutôt élémentaire, est une promenade dans toutes les mathématiques, informatique comprise, et pourrait bien réconcilier informaticiens et mathématiciens !

Gerbert sur Youtube

lundi 13 août

L’abaque de Gerbert possède désormais sa chaîne sur Youtube. Cela permet de se familiariser avec cet outil « innovant » pour l’apprentissage du calcul en cycles 2 et 3.

Nouveau record de nombre premier

mercredi 10 janvier

Depuis fin 2017, le plus grand nombre premier connu est 277 232 917-1, il s’agit donc d’un nombre de Mersenne. Son écriture décimale comprend plus de 23 millions de chiffres. On notera que cela signifie que 77 232 917 est lui-même un nombre premier (résultat de Fermat).

Comprendre la logique Shadok

dimanche 30 avril 2017

Le meilleur cours de maths Shadok jamais réalisé...
Vidéo succulente ajoutée sur la canal des archives de l’INA le 26 avril 2017.

Décès de Kenneth Arrow

mercredi 15 mars 2017

La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Statistiques

Dernière mise à jour

samedi 10 novembre 2018

Publication

798 Articles
Aucun album photo
138 Brèves
11 Sites Web
140 Auteurs

Visites

608 aujourd'hui
1227 hier
2548727 depuis le début
48 visiteurs actuellement connectés