Arithmétique et itérations

mardi 25 août 2015
par  André SEGUIN

Au travers d’une famille d’applications définies sur N* et dépendant de deux paramètres a et c, des problèmes de type Syracuse sont étudiés, dont certains sont résolus avec des moyens du niveau lycée.

Les applications considérées sont définies dans N* par la relation n \mapsto \frac{c+p1(2an+1)}{2}, où a et c sont dans N* avec c impair, et p1(n) désigne le plus petit diviseur premier de n (ainsi, p1(21) = 3).

Exemple de problème étudié :

Pour a = 31 et c = 61, les itérés de 1 sont :

1 → 32 → 33 → 42 → 33 → 42 → 33 → ...

On parle également du vol de 1. Le vol de 89 est :

89 → 2790 → 86521 → 32 → 33 → 42 → 33 → ...

Nous montrerons dans la partie B qui englobe ces deux valeurs des paramètres, que quel que soit l’entier de départ, le vol boucle sur le cycle 33, 42.

Pour d’autres valeurs des paramètres plusieurs cycles pourront apparaître, parfois même des points fixes. Enfin dans une grande majorité de cas, nous ne saurons pas justifier la convergence, mais cela nous mènera vers les « nombres premiers en progression arithmétique » et les « suites de Cullingham généralisées », qui sont des sujets d’actualité.

Le logiciel Xcas est utilisé pour les calculs.

On peut construire les graphes pour les cas a ≡ 2 ou a ≡ 3 mais ils nous renseignent peu. Les méthodes exposées pour expliquer la convergence vers le cycle ne s’appliquent plus dès que l’on aborde le cas général. D’autres questions restent sans réponse. Par exemple : comment connaître le nombre de cycles à partir des paramètres a et c ?

J’espère que ce texte donnera l’occasion d’expérimenter quelques programmes pour observer cette convergence qui fait penser à la loi d’attraction terrestre.

Sommaire

  • Introduction
  • A - Généralités sur la fonction
    • Étude des points fixes
    • Comparaison entre n et f(n)
  • B - Une sous-famille : a et c congrus à 1 modulo 3
    • Graphe associé
    • Étude des itérés de i0
    • Convergence des vols
  • C - Une autre sous famille : a ≡ 1 (3) et c ≡ 0 (3)
    • Graphe associé et convergence
  • D - Vers les « nombres premiers en progression arithmétique » et les « suites de Cullingham généralisées »
  • E – Un cas particulier
    • La croissance propulsée
    • L’intervalle I
  • F – Une propriété des points fixes

Documents joints

Arithmétique et itérations
Arithmétique et itérations

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Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 8 février 2017, 14h-18h, campus du Tampon, amphi 120 B
- Mercredi 8 mars 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 12 avril 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mardi 13 juin 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6

Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

Galeries CaRMetal

dimanche 19 avril 2009

Le site CaRMetal autorise depuis le 19 avril la possibilité pour les utilisateurs de mettre en ligne leurs propres galeries. Un premier diaporama venant de notre IREM est disponible (sur l’aimantation). D’autres (Alain ?) devraient suivre assez rapidement.

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