Arithmétique et itérations

mardi 25 août 2015
par  André SEGUIN

Au travers d’une famille d’applications définies sur N* et dépendant de deux paramètres a et c, des problèmes de type Syracuse sont étudiés, dont certains sont résolus avec des moyens du niveau lycée.

Les applications considérées sont définies dans N* par la relation n \mapsto \frac{c+p1(2an+1)}{2}, où a et c sont dans N* avec c impair, et p1(n) désigne le plus petit diviseur premier de n (ainsi, p1(21) = 3).

Exemple de problème étudié :

Pour a = 31 et c = 61, les itérés de 1 sont :

1 → 32 → 33 → 42 → 33 → 42 → 33 → ...

On parle également du vol de 1. Le vol de 89 est :

89 → 2790 → 86521 → 32 → 33 → 42 → 33 → ...

Nous montrerons dans la partie B qui englobe ces deux valeurs des paramètres, que quel que soit l’entier de départ, le vol boucle sur le cycle 33, 42.

Pour d’autres valeurs des paramètres plusieurs cycles pourront apparaître, parfois même des points fixes. Enfin dans une grande majorité de cas, nous ne saurons pas justifier la convergence, mais cela nous mènera vers les « nombres premiers en progression arithmétique » et les « suites de Cullingham généralisées », qui sont des sujets d’actualité.

Le logiciel Xcas est utilisé pour les calculs.

On peut construire les graphes pour les cas a ≡ 2 ou a ≡ 3 mais ils nous renseignent peu. Les méthodes exposées pour expliquer la convergence vers le cycle ne s’appliquent plus dès que l’on aborde le cas général. D’autres questions restent sans réponse. Par exemple : comment connaître le nombre de cycles à partir des paramètres a et c ?

J’espère que ce texte donnera l’occasion d’expérimenter quelques programmes pour observer cette convergence qui fait penser à la loi d’attraction terrestre.

Sommaire

  • Introduction
  • A - Généralités sur la fonction
    • Étude des points fixes
    • Comparaison entre n et f(n)
  • B - Une sous-famille : a et c congrus à 1 modulo 3
    • Graphe associé
    • Étude des itérés de i0
    • Convergence des vols
  • C - Une autre sous famille : a ≡ 1 (3) et c ≡ 0 (3)
    • Graphe associé et convergence
  • D - Vers les « nombres premiers en progression arithmétique » et les « suites de Cullingham généralisées »
  • E – Un cas particulier
    • La croissance propulsée
    • L’intervalle I
  • F – Une propriété des points fixes

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Promenade singulière sur les points singuliers

vendredi 24 août

Le livre promenades d’Étienne Ghys est disponible au téléchargement sur le site de l’ENS de Lyon. Largement illustré, ce livre consacré à un problème de Maxime Kontsevitch dont l’énoncé est plutôt élémentaire, est une promenade dans toutes les mathématiques, informatique comprise, et pourrait bien réconcilier informaticiens et mathématiciens !

Gerbert sur Youtube

lundi 13 août

L’abaque de Gerbert possède désormais sa chaîne sur Youtube. Cela permet de se familiariser avec cet outil « innovant » pour l’apprentissage du calcul en cycles 2 et 3.

Nouveau record de nombre premier

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Depuis fin 2017, le plus grand nombre premier connu est 277 232 917-1, il s’agit donc d’un nombre de Mersenne. Son écriture décimale comprend plus de 23 millions de chiffres. On notera que cela signifie que 77 232 917 est lui-même un nombre premier (résultat de Fermat).

Comprendre la logique Shadok

dimanche 30 avril 2017

Le meilleur cours de maths Shadok jamais réalisé...
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La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

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