Codage et mathématiques : du langage aux algorithmes, des ressources pour débuter à l’école

samedi 18 juin 2016
par  Nathalie DAVAL

Le codage et la programmation entrent de manière officielle dans les nouveaux programmes de l’école primaire dès la maternelle. Après avoir défini rapidement les contenus des nouveaux programmes, nous verrons pourquoi il est intéressant de travailler ces domaines dès le plus jeune âge. Puis, à partir d’exemples pris au sein de l’école primaire, nous nous intéresserons à certains aspects du langage mathématique ainsi qu’aux langages de déplacement, dans le but d’arriver à la notion d’algorithme. Enfin, nous proposons quelques pistes de ressources utilisables dès le plus jeune âge (mais aussi au collège), que ce soit dans la manipulation de robots, de l’utilisation de tablettes et d’ordinateurs, ou par le biais d’activités déconnectées.

Sommaire :

  1. Le codage dans les nouveaux programmes
  2. Pourquoi enseigner le code à l’école ?
  3. Une histoire de langages
  4. Du langage aux algorithmes
  5. Programmons !


1. Le codage dans les nouveaux programmes

Dans les nouveaux programmes, on trouve de nombreuses références aux algorithmes, au codage et à la programmation, notamment dans le but de faire effectuer des déplacements.


Au cycle 1 : l’école maternelle [1]

Construire les premiers outils pour structurer sa pensée
Découvrir les nombres et leurs utilisations. Explorer des formes, des grandeurs, des suites organisées Dès la petite section, les enfants sont invités à organiser des suites d’objets en fonction de critères de formes et de couleurs ; les premiers algorithmes qui leur sont proposés sont simples. Dans les années suivantes, progressivement, ils sont amenés à reconnaître un rythme dans une suite organisée et à continuer cette suite, à inventer des « rythmes » de plus en plus compliqués, à compléter des manques dans une suite organisée. - Identifier le principe d’organisation d’un algorithme et poursuivre son application.
Explorer le monde
Se repérer dans le temps et l’espace L’expérience de l’espace porte sur l’acquisition de connaissances liées aux déplacements, aux distances et aux repères spatiaux élaborés par les enfants au cours de leurs activités.
Le passage aux représentations planes par le biais du dessin les amène à commencer à mettre intuitivement en relation des perceptions en trois dimensions et des codages en deux dimensions faisant appel à certaines formes géométriques (rectangles, carrés, triangles, cercles). Ces mises en relations seront plus précisément étudiées à l’école élémentaire, mais elles peuvent déjà être utilisées pour coder des déplacements ou des représentations spatiales.
- Situer des objets par rapport à soi, entre eux, par rapport à d’autres, par rapport à des objets repères.
- Utiliser des marqueurs spatiaux adaptés (devant, derrière, droite, gauche, dessus, des- sous. . .).


Au cycle 2 : CP-CE1-CE2 [2]

Espace et géométrie
(Se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères S’orienter et se déplacer en utilisant des repères.
Coder et décoder pour prévoir, représenter et réaliser des déplacements dans des espaces familiers, sur un quadrillage, sur un écran.
- Repères spatiaux.
- Relations entre l’espace dans lequel on se déplace et ses représentations.
Parcours de découverte et d’orientation pour identifier des éléments, les situer les uns par rapport aux autres, anticiper et effectuer un déplacement, le coder.
Réaliser des déplacements dans l’espace et les coder pour qu’un autre élève puisse les reproduire.
Produire des représentations d’un espace restreint et s’en servir pour communiquer des positions.
Programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran.

Au CP, la représentation des lieux et le codage des déplacements se situent dans la classe ou dans l’école, puis dans le quartier proche, et au CE2 dans un quartier étendu ou le village.
Dès le CE1, les élèves peuvent coder des déplacements à l’aide d’un logiciel de programmation adapté, ce qui les amènera au CE2 à la compréhension, et la production d’algorithmes simples.


Au cycle 3 : CM1-CM2-6e

Espace et géométrie
(Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations Se repérer, décrire ou exécuter des déplacements, sur un plan ou sur une carte.
Accomplir, décrire, coder des déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran.
- Vocabulaire permettant de définir des positions et des déplacements.
- Divers modes de représentation de l’espace.
Situations donnant lieu à des repérages dans l’espace ou à la description, au codage ou au décodage de déplacements.
Travailler :
- dans des espaces de travail de tailles différentes (la feuille de papier, la cour de récréa-
tion, le quartier, la ville, etc.) ;
- à partir de plans schématiques (par exemple, chercher l’itinéraire le plus court ou demandant le moins de correspondances sur un plan de métro ou d’autobus) ;
- avec de nouvelles ressources comme les systèmes d’information géographique, des logiciels d’initiation à la programmation . . .

Initiation à la programmation : une initiation à la programmation est faite à l’occasion notamment d’activités de repérage ou de déplacement (programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran), ou d’activités géométriques (construction de figures simples ou de figures composées de figures simples).

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2. Pourquoi enseigner le code à l’école ?

D’après le document « Proposition d’orientations générales pour un programmes d’informatique à l’école primaire [3] » : L’école primaire doit être le temps de la découverte des concepts fondamentaux de l’informatique, celui où l’on parle aux élèves, avec leurs mots, à partir de leur quotidien et de leurs connaissances acquises dans les autres disciplines, d’informations, de langages de programmation, d’algorithmes et de machines. L’enseignement de l’informatique à l’école nous semble être trop souvent limité à l’utilisation d’ordinateurs et de logiciels créés par d’autres. Cette vision dénature une discipline scientifique et technique qui donne un rôle essentiel à l’abstraction et à l’expérimentation personnelle. Faire de l’informatique ne consiste pas à passer des heures devant un écran, mais à acquérir des notions fondamentales et universelles. L’initiation à l’informatique doit donc n’être liée ni à un ordinateur particulier, ni à un logiciel particulier, ni à un langage particulier. Elle doit par ailleurs chercher un équilibre entre des activités fondées sur l’utilisation d’un ordinateur et des activités « débranchées », c’est-à-dire ne recourant pas à une telle utilisation.

En effet, les élèves ont souvent une attitude consommatrice vis-à-vis de l’informatique : on allume, on choisit un logiciel ou une application, puis on applique « bêtement ».

L’idée du code à l’école serait de profiter de l’utilisation de cet outil pour s’interroger sur son fonctionnement, pour lui donner du sens, pour le critiquer, et de cette interrogation pourrait naître l’occasion d’échanges collectifs. L’initiation à l’informatique doit aussi passer par la découverte des concepts fondamentaux de langage et d’algorithmes, sans toujours utiliser un ordinateur pour cela.
Apprendre le code aux enfants, c’est permettre un rapprochement entre l’école et le monde extérieur :

  • en codant, les enfants développent leur logique et structurent leur raisonnement ;
  • apprendre à programmer, c’est apprendre de ses erreurs ;
  • apprendre à programmer, c’est apprendre à travailler ensemble, à collaborer.

Voici une illustration de Brian Aspinall [4] qui résume les avantages du code à l’école :

Et une courte vidéo qui répond à la question d’un enfant « c’est quoi le code informatique »

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3. Une histoire de langages

Un exemple de langage connu : notre système de numération

Le terme de langage fait souvent référence au langage informatique. Cependant, notre système de numération est un langage particulier avec ses propres règles et codes, dont la compréhension est devenu un objectif fondamental de l’école primaire : après la construction du nombre à l’école maternelle, on construit notre numération à l’école élémentaire.
Or, l’interaction entre le langage oral et le langage écrit est délicate. Par exemple, le nombre qui se dit « quarante-six » s’écrit « 46 » et non pas « 40 6 ». On peut le représenter ainsi :

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La valeur des jetons bleus (qui sont identiques selon s’ils représentent une dizaine ou une unité) diffère selon la place qu’ils occupent. C’est pourquoi la représentation précédente se « code » 46 qui signifie 4 dizaines et 6 unités. Mais alors pourquoi ne pas dire oralement « quatre six » au lieu de « quarante-six » afin de supprimer cet obstacle du lien oral-écrit ?
Une idée : quelle différence existe-t-il avec le nombre « quatre six » et le nombre « quatre six trois » ? Dans le langage écrit, elle se « voit » directement alors que dans le langage oral, il faut avoir terminé d’énoncer le nombre afin de le connaître. En revanche, dans notre langage oral, nous avons directement un ordre de grandeur dès les premiers termes : « quatre cent. . . » et « quarante. . . ».
De même, l’écriture décimale des nombres, initiée en CM1, correspond au codage d’une écriture sous forme de fractions.

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Notons qu’en français, le séparateur décimal est la virgule. En anglais, c’est un point. C’est pourquoi dans de nombreux logiciels informatiques, le séparateur décimal est un point.
Tout comme pour les nombre entiers, l’écriture codée induit une interaction oral-écrit difficile : lorsqu’on dit « vingt-trois virgule quatre cent six », une erreur classique des élèves est de penser qu’il s’agit de deux nombres séparés par une virgule, et pas d’un nombre à part entière, contrairement à son écriture sous forme de fractions décimales. C’est pour cette raison qu’il faut faire attention (au moins au CM1) à la manière dont on dit les nombres oralement : il est préférable de dire « vingt-trois et quatre cent six millièmes », ou encore « vingt-trois, quatre dixièmes et six millièmes ».


Deux langages de déplacement

Une large part des nouveaux programmes concernant le code demande de programmer le déplacement d’un robot ou d’un personnage à l’écran.
Pour cela, nous allons voir deux langages formels distincts qui peuvent paraître proches, mais qui en réalité ne font pas appel aux mêmes capacités de représentation de l’espace.
Un langage formel se distingue d’une langue naturelle par sa spécialisation, son caractère artificiel, le caractère limité de son lexique et la simplicité des règles qui régissent sa grammaire.
On considère les deux langages suivants :

  • le langage A composé des mots de vocabulaire : « haut », « bas », « droite » et « gauche » ;
  • le langage R composé des mots de vocabulaire « avancer », « tourner à droite » (qui signifie « tourner sur soi-même d’un quart de tour vers la droite ») et « tourner à gauche ». Supposons, par exemple, que l’on souhaite coder le déplacement suivant :
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On obtient :

avec le langage A avec le langage R
droite avancer
droite avancer
haut tourner à gauche
haut avancer
droite avancer
avancer
tourner à droite
avancer

Hormis le fait que le nombre d’instructions est supérieur dans le langage R, une autre différence très importante du point de vue structuration apparait ici : pour le langage A, le déplacement se fait comme si on se plaçait depuis l’extérieur du quadrillage, par exemple avec une vue du dessus. Ce repérage dépend donc de l’orientation de la feuille, indépendamment du point de vue de l’observateur. Pour ces raisons, il est appelé repérage Absolu.
En revanche, pour le langage R, c’est un autre point de vue qui est adopté : on se met à la place de l’observateur et l’orientation du quadrillage n’a aucun effet sur le codage obtenu. Le repérage est qualifié de Relatif.

On pourra alors étudier ces deux langages et les comparer :

  • apprendre à traduire un itinéraire d’un langage dans un autre ;
  • étudier les avantages et inconvénients de chaque langage ;
  • étudier l’effet d’une « erreur » ;
  • comment améliorer l’ergonomie du code ;
  • rechercher des propriétés. . .

Une autre différence entre le langage formel et la langue naturelle réside dans la rigidité du langage de programmation : en effet, une phrase célèbre telle que « si j’aurais su j’aurais pas venu », même si elle est grammaticalement fausse, reste compréhensible.
En revanche, une phrase grammaticalement incorrecte d’un langage informatique impliquera soit un message d’erreur, soit une action non voulue (par exemple, un signe de ponctuation oublié dans un programme rend ce dernier faux, alors qu’il est difficile de trouver une phrase en français qui serait incorrecte à cause d’un signe de ponctuation oublié).

Pour plus d’informations à ce sujet, on pourra lire l’article de Gilles Dowek [5] : sciences, langages et langues.


Vu à l’école

À l’école élémentaire, les élèves apprennent à se déplacer à l’aide d’un quadrillage : en premier lieu, ils doivent repérer des cases ou des noeuds d’un quadrillage grâce à un repérage absolu (souvent un couple de coordonnées : une lettre et un chiffre). Il n’y a pas lieu dans ce cas de ce décentrer : on « lit » directement les coordonnées de la case. L’exercice doit se faire dans les deux sens (codage et décodage).

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Puis, l’élève apprend à se déplacer sur un quadrillage en codant les déplacements.

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Nous sommes dans un déplacement fléché transposé dans un langage de type A plus « visuel ». Remarquons que l’on peut améliorer le message en remplaçant par exemple la suite « → → » par « 2 → ». On dit que l’on définit une loi de composition externe à gauche (ici, la multiplication entre un élément de l’ensemble des nombres entiers naturels et d’un élément de l’ensemble composé des flèches →, ↑, ←, ↓).
On remarque que dans les différentes activités proposées à l’école, le langage utilisé est très souvent de type A. Le langage type R est beaucoup plus difficile car il demande plus d’abstraction et l’élève doit se décentrer afin de se mettre à la place de l’objet que l’on veut faire bouger. Et pourtant, il est utile dans la vie courante : qui n’a jamais vu quelqu’un tourner une carte routière dans tous les sens (et pas seulement les femmes ;-) sans savoir comment se repérer ! ! !
C’est assez souvent ce type de langage qui est utilisé dans la robotique et la programmation car il ne dépend pas de l’endroit duquel on se place.

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4. Du langage aux algorithmes

Un peu d’histoire

Le mot algorithme vient du nom latinisé du mathématicien perse Muhammad Musa Al-Khwarizmi (8e siècle après J.C.). Il est à l’origine de l’apport des chiffres indo-arabes.
Au 10e siècle, le moine Gerbert d’Aurillac (945-1003), invente un nouvel abaque : il y utilise, pour la première fois en Occident, les chiffres indo-arabes. Ceux-ci étaient transcrits sur des jetons appelés apices.
Au 13e siècle, la bataille entre les algoristes (partisans du calcul avec les chiffres indo-arabes, utilisant des techniques de calcul proches des nôtres) et les abacistes (partisans du calcul sur abaque) était loin d’être gagnée. En effet, l’église voyait d’un mauvais oeil ces nouvelles techniques de calcul importées des Arabes, et accessibles au plus grand nombre. Ce n’est que vers la fin du 18e siècle que le calcul indo-arabe supplanta réellement l’abaque dans les écoles, les administrations et le commerce.
Au 19e siècle, Ada Lovelace écrit le premier programme sur la machine analytique de Charles Babbage. Vers le milieu du 20e siècle, Alan Turing essaie de développer une certaine intelligence artificielle des machines comme les ordinateurs à travers des algorithmes.
Quelques années plus tard, Grace Hopper contribue à développer la notion de langage informatique, elle est à l’origine du premier compilateur (logiciel permettant de traduire un algorithme écrit dans un certain langage en langage machine). C’est grâce à cela que l’on a pu développer les logiciels à grande échelle.

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Pour plus informations, on pourra visionner ou lire le petit documentaire « Pourquoi tu cherches ? Pourquoi et comment notre monde est devenu numérique ? »


Vu à l’école !

De manière générale, un algorithme est une suite d’instructions qui, une fois exécuté correctement, conduit à un résultat donné.
Les exemples de la vie courante ne manquent pas. Examinons plus particulièrement des algorithmes anciens : les recettes de cuisine. Une recette de cuisine comporte trois étapes :

  1. réunir les ingrédients ;
  2. préparer ;
  3. déguster.

Réunir des ingrédients consiste à préparer tout ce qu’il faut afin de pouvoir exécuter la recette. La préparation consiste à exécuter une suite d’instructions : mélanger, battre, faire fondre, remplir. . . Pour la dégustation, pas besoin d’explication ! ! ! On ne sait pas forcément pourquoi il faut procéder de la sorte et d’ailleurs, ça n’a aucune importance : la recette a été écrite par quelqu’un qui sait. En revanche, rien ne nous empêche de modifier des éléments de la recette (ingrédients ou instructions) afin d’obtenir une résultat différent.
Dès la maternelle, les enfants sont habitués à travailler avec des algorithmes de suites qui ne nécessitent pas de langage spécifique : l’étude des algorithmes prépare à toutes les activités numériques (écriture, ordre, opérations) mais favorise également une bonne structuration de l’espace et du temps.
On peut utiliser des perles à enfiler, des images à mettre dans un certain ordre, des dessins à colorier, ou encore utiliser son corps pour effectuer des gestes réitérés, des rythmes. . .

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À l’école élémentaire, les enfants apprennent les techniques expertes de l’addition, de la soustraction, de la multiplication et enfin de la division. Leur exécution consiste à appliquer un algorithme. L’avantage d’un tel algorithme est que les élèves savent dérouler l’algorithme afin d’effecteur le calcul. Cependant, l’effet
« pervers » dans ce cas est la mécanisation sans en comprendre le mécanisme.

Par exemple, lorsqu’on demande à un enfant d’effectuer une division euclidienne, il le fait en utilisant une procédure mécanique (un algorithme) qui fonctionne et on obtient souvent l’écriture ci-dessous.

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On peut alors lui demander à quoi correspondent le « petit pont » au dessus du 1 et du 2 et la flèche. En général, l’élève ne sait pas : « c’est comme cela que j’ai appris. »
Les programmes récents, et notamment la compréhension de notre système de numération, permettent de donner du sens à ces algorithmes.

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5. Programmons !

Passons de la théorie à la pratique avec une liste de ressources (non exhaustive ! ! !) qui permettent d’initier des enfants, même très jeunes, aux principes de la programmation et de la logique sous différentes formes :

  • diriger des robots. Il s’agit en général d’un petit robot que l’on peut programmer de façon simplifiée. Son inconvénient principal est qu’il est assez coûteux (100 euros et plus) ;
  • déplacer des personnages à l’écran : cela consiste à donner des instructions à un personnage à l’écran afin de le faire se déplacer selon des codes précis. La complexité des niveaux augmente progressivement ;
  • des applications et logiciels de programmation utilisant des blocs logiques à assembler, choisis parmi une liste. Certains nécessitent de savoir lire, d’autre non car ils comportent un pictogramme représentant l’action à effectuer dessus ;
  • des sites Internet dédiés à l’apprentissage du code dès le plus jeune âge ;
  • des activités déconnectées ou « débranchées », c’est à dire n’utilisant pas d’ordinateur, ni de tablette, ni de smartphone.


Les robots

Thymio Petit robot permettant de découvrir l’univers de la robotique et d’apprendre le langage des robots. Programmation par bloc visuels, scratch, texte (aseba). Différents capteurs intégrés : proximité, accéléromètre, température, microphone. Prix : 120 euros.
Ressources pour le classe
Linux, OSX, Windows, Androïd
Sphero Boule motorisée (par l’intérieur) et communiquant en bluetooth avec un smartphone ou une tablette. Possibilité de la piloter, de la programmer (orbotix) et de jouer avec (compétences spatiales). De nombreuses applications dédiées. Prix : 120 euros.
Vidéo d’utilisation en maternelle
Androïd, IOS

Le déplacement de personnages

Gcompris : labyrinthe Logiciel éducatif proposant des activités variées ludiques et pédagogiques aux enfants de 2 à 10 ans.
Labyrinthe : utilisation de touches fléchées pour sortir d’un labyrinthe, deux modes de fonctionnement (absolu ou relatif). Prix : 9 euros, version d’évaluation gratuite (81 activités sur 144).
Linux, OSX, Windos, Androïd
Lightbot Application de pré-apprentissage du code, bien conçue et agréable à jouer. Les enfants doivent planifier les déplacements et les actions d’un robot grâce à des éléments de mouvements à glisser-déposer. Existe en deux versions, à partir de 4 ans et à partir de 9 ans. Prix : entre 2 et 5 euros. Gratuit sur « Hour of code ». Windows, OSX, Androïd, IOS, en ligne

Programmation par blocs

Scracth junior Avec ScratchJr, les jeunes enfants (à partie de 5-7 ans) peuvent programmer leurs propres histoires et des jeux interactifs. Dans le processus, ils apprennent à résoudre des problèmes, des projets de conception et expriment leur créativité sur l’ordinateur. Fonctionne grâce à des blocs visuels. Gratuit.
Exemple d’utilisation en GS
Androïd, IOS
Scratch Scratch est un langage de programmation et une communauté en ligne où les enfants peuvent programmer et partager des médias interactifs comme des histoires, des jeux et des animations. Quand les enfants créent avec Scratch, ils apprennent à penser de façon créative, à travailler en collaboration, à raisonner systématiquement.
Très populaire dans les écoles (8-16 ans) et traduit en Français. Gratuit
Linux, OSX, Windows, en ligne

Les sites dédiés

Hour of code Une Heure de Code est une introduction d’une heure à l’informatique. Ce programme est conçu pour démystifier la programmation et montrer que n’importe qui peut en apprendre les rudiments. Possibilité d’organiser son heure de code avec diverses li- cences : la reine des neiges, Minecraft, StarWars . . . Gratuit En ligne
Code studio Des cours de code progressifs pour débuter en informatique (une vingtaine d’étapes par cours).
À partir de 4 ans, 6 ans, 8 ans et 10 ans. Possibilité de s’inscrire (en tant qu’enseignant ou élève) afin d’enregistrer la progression. Vidéos en anglais, activités en français. Contient les activités de « Hour of code ». Gratuit
En ligne

Activités débranchées

Robot-idiot Le « robot-idiot » (matérialisé par un élève) doit sortir d’un petit labyrinthe que l’on aura construit dans une salle en déplaçant quelques tables ou chaises, ou en dessinant à la craie sur le sol de la cour. Grâce à des instructions simples, il s’agit de faire sortir le robot du labyrinthe. Gratuit. Drap, obstacles, craies...
Robotic friends Il s’agit de donner des instructions afin de construire un pyramide avec des gobelets, à l’aide d’un code flèché à écrire sur une feuille de papier. Gratuit. Gobelets, papier, crayon

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[1D’après le Bulletin Officiel spécial n◦2 du 26 mars 2015 : http://www.education.gouv.fr/cid873...

[2D’après le Bulletin officiel spécial n◦11 du 26 novembre 2015 : http://www.education.gouv.fr/pid285...

[3Proposition d’orientations générales pour un programmes d’informatique à l’école primaire : http://www.epi.asso.fr/revue/editic...

[4Site de Brian Aspinall : http://brianaspinall.com/10-reasons...

[5Page de Gilles Dowek : http://www.lsv.ens-cachan.fr/&nbsp ;dowek/


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Nouveaux programmes pour la maternelle

mercredi 3 juin 2015

Les lecteurs attentifs des futurs programmes de la maternelle, qui rentreront en vigueur à la rentrée 2015, ont pu remarquer qu’ils reprennent les positions défendues par Rémi Brissiaud depuis des années sur la construction du nombre. Le site de la CFEM (Commission française pour l’enseignement des mathématiques) propose une page résumant le débat sur ce thème, avec deux contributions de ce chercheur.

thaMographe

mardi 30 décembre 2014

Le thaMographe, médaille d’or au Concours Lépine européen 2013, est un instrument pratique, peu cher, performant, qui remplace à lui seul les quatre outils usuels de géométrie (compas, règle graduée, équerre, rapporteur). De nombreuses écoles l’on mis sur leur liste de fournitures scolaires. Le site d’accompagnement contient des tutoriels pour une utilisation du primaire au post-bac.

Sur le Web : thaM thaM

Cellule de Géométrie

mardi 9 avril 2013

La Cellule de Géométrie (Haute École en Hainaut, Belgique) met à la disposition des professeurs des documents concernant l’enseignement de la géométrie de 5 à 18 ans. L’objectif est de permettre aux élèves de s’approprier progressivement et naturellement la démarche scientifique.

Sur le Web : Cellule de Géométrie

Artluxultra

samedi 20 octobre 2012

Artluxultra est un site d’art mathématique qui présente, sous un angle figuratif, les relations entre la géométrie, l’algèbre et la topologie.

Sur le Web : Artluxultra

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samedi 12 novembre 2011

Un Quizz de Mathématiques GRATUIT ne nécessitant que des connaissances élémentaires.

Les objectifs principaux sont de mettre en valeur auprès du grand public la place occupée par les mathématiques dans notre vie de tous les jours, et d’aborder des aspects de la recherche en mathématiques ou liés aux mathématiques, tout en permettant aux participants de s’évaluer sur des questions de mathématiques simples.

Sur le Web : Enigmath 2011

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