Des deux, une au moins est fausse !

mardi 12 juillet 2016
par  André SEGUIN

On propose deux problèmes qui portent sur les itérés des nombres entiers par une fonction particulière. Comme pour le problème de Syracuse, un seul bassin d’attraction apparait. Dans chaque cas, une conjecture émerge qui semble vouloir résister. Pourtant au moins une des deux est fausse !

Notation

p1(n) désigne le plus petit diviseur premier de n pour n > 1.

CONJECTURE 1

Définition

La fonction f est définie sur N par f (0) = 5 et, pour n ≠ 0, par f(n)= \frac{p1(10n-1)+ p1(10n+1)}{2}.

Itérés par la fonction f

f (0) = 5 ; f (5) = 5...

f (1) = 7 ; f (7) = 37 ; f (37) = 5 ; f (5) = 5...

0, 5, 5...
1, 7, 37, 5, 5...
2, 11, 56, 8, 41, 206, 16, 5, 5...
3, 30,10, 52, 262, 1312,6562, 107, 536, 13, 67, 7, 37, 5, 5...
4, 22, 8, 41, 206, 16, 5, 5...
5, 5...
6, 60, 600, 12, 9, 48, 246, 1241, 6206, 116, 11, 56, 8, 41, 206, 16, 5, 5...

L’observation des premiers itérés pour les sept premiers nombres montre que le nombre 5 est un point fixe attractif. Les images successives par f aboutissent à ce nombre. Cependant il faut parfois augmenter le nombre d’itérations pour l’atteindre. Par exemple, il faut vingt-trois itérations à partir du nombre 368232.


Conjecture 1
Pour tout n, la suite des itérés de n par f aboutit au nombre 5.

CONJECTURE 2

Notations

pav (n) désigne le nombre premier qui vient juste avant n pour n > 2.
pap (n) désigne le nombre premier qui suit immédiatement n.

Définition

La fonction g est définie sur N de la manière suivante :

  • Si n = 93396 ou n = 93397, g(n) = 17445812449.
  • Si n est congru à 1 modulo 3 et n différent de 93397, g(n)=\frac{186793^2+pap( p1(|2n-186793|))^2}{2}.
  • Si n est autre, g(n)=\frac{pav(p1(2n+186793))^2+pap(p1(|2n-186793|))^2}{2}.

Pour les deux valeurs particulières de n , |2n-186793|=1. Comme p1(1) n’est pas défini, on ne peut pas calculer directement l’image de ces deux valeurs par les formules. L’explication du choix du nombre 17445812449 comme image est révélée juste après.

Itérés par la fonction g

0, 34889009965, 17445958765, 608716437278018401429, 17445812449,17445812449...
1, 17445812509, 17445812449, 17445812449...
2, 73, 34864737025, 17445812485, 17445812689, 17445812449, 17445812449...
3, 17445824749, 17445812449, 17445812449...
4, 17445812449, 17445812449...

Ici aussi le nombre 17445812449 est un point fixe attractif. Par exemple, il faut onze itérations à partir du nombre 1426625 pour l’atteindre et seulement six (et de la patience) pour 3377849.


Conjecture 2
Pour tout n, la suite des itérés de n par g atteint le nombre 17445812449.

Ne laissez pas refroidir vos ordinateurs portables pendant les vacances. Utilisez les pour approfondir la question !

Après avoir longtemps cherché... et trouvé, vous pourrez consulter le document joint qui présente une étude sur ce type de problèmes.


Documents joints

D'une conjecture à l'autre
D'une conjecture à l'autre

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CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

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MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

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lundi 16 novembre 2009

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Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

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Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

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