Porisme de Steiner dynamique

jeudi 4 juin 2009
par  Yves MARTIN

Par sa manipulation directe, la géométrie dynamique pose de nouvelles questions même sur les anciens problèmes. Le porisme de Steiner en est un bel exemple si on veut pouvoir manipuler le cercle intérieur par son centre : la question posée pour cela n’avait pas d’intérêt particulier avant cette possibilité de manipulation.

Le sens du terme porisme a évolué dans le temps. Il n’a plus maintenant le sens qu’on lui donnait dans la Grèce antique. On appelle désormais « porisme », une propriété géométrique indépendante d’une condition initiale. Les deux plus célèbres sont le porisme de Poncelet et celui de Steiner.

Porisme de Steiner

Étant donnés deux cercles C et C', le second intérieur et non tangent au premier, on construit un cercle C_1 bitangent à C et C' puis une chaîne de cercles C_k tel que C_{k+1} soit tangent à C, C' et C_k.
Alors s’il existe n tel que C_n coïncide avec C_1, cette propriété est indépendante de C_1 et ne dépend que des rayons de C et C' (ainsi que n).

1. La présentation classique

Une première démarche, quand il s’agit d’en faire une illustration statique est de faire la figure inverse : transformer une figure avec deux cercles concentriques en la figure correspondante de Steiner. Dans la figure suivante, on a inclus, par magnétisme sur le point M, trois valeurs du nombre de cercles autour du cercle inscrit.

Le but de cet article est de faire une figure sur laquelle on agit directement sur le cercle intérieur

2. Recherche de l’inversion solution

La preuve donnée généralement pour le porisme de Steiner est contenue dans le théorème de réduction de deux cercles : on peut toujours trouver une inversion qui transforme deux cercles quelconques en deux cercles concentriques. Les ouvrages de géométrie ne vont guère au delà de cette autre écriture du porisme appelée aussi :

L’alternative de Steiner

Soient deux cercles C et C' dont l’un est intérieur à l’autre [non tangent] et une suite de cercles \left(C_k\right) tel que C_{k+1} soit tangents aux cercles C, C' et tangent extérieurement à C_k. Les cercles vérifient une des propriétés suivantes :
1) ou bien , il existe un entier n tel que C_n = C_1, et ce quel que soit le cercle initial C_1, i.e. « toute suite de cercles se referme » ;
2) ou bien aucun cercle C_k (k>1) ne coïncide avec le cercle C_1 et ce quel que soit le cercle initial C_1, i.e. « aucune suite de cercles ne se referme ».

Pour réaliser une version dynamique, on cherche une inversion qui, pour deux cercles concentriques et un point O donné, conserve globalement le cercle extérieur et qui va transformer le cercle intérieur en un cercle de centre O.

3. La construction effective de la figure, en 5 étapes

On se propose d’entourer le cercle intérieur de 5 à 9 cercles. Voici une figure intermédiaire, qui rend compte des étapes à réaliser

4. La figure finale

La seule réellement à télécharger, pour laquelle cet article a été fait.


Documents joints

Steiner2_Reduction
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Steiner3_Méthode
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Petite leçon de CaRMetal
Porisme Steiner Final
Porisme Steiner Final
CarMetal - 23.9 ko
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DGPad sur MathémaTICE

lundi 20 mai 2013

La révolution tactile, toute naissante, en est probablement à ses premiers balbutiements. Et pourtant, ses premières réalisations contiennent déjà de petits bijoux. C’est le cas, pour ce qui est de la géométrie dynamique, de DGPad. En deux articles sur MathémaTICE, Yves Martin propose un vaste tour d’horizon de cette nouvelle application.

Sur le Web : DGPad sur MathémaTICE

Périmètre, aire et volume au collège

lundi 16 janvier 2012

Myriam Bouloc Rossato et Jean-Jacques Dahan ont conçu un scénario interactif pour enseigner les notions de périmètre, d’aire et de volume au collège à l’aide de la géométrie dynamique (Cabri 2Plus et Cabri 3D). Le document s’appuie sur des figures animables en ligne et sur des vidéos postées sur YouTube.

Sur le Web : Document interactif

Le théorème d’Ayme

dimanche 4 décembre 2011

Notre collègue Jean-Louis Ayme est à l’honneur : il vient de publier un nouveau théorème, le « théorème d’Ayme » ou « théorème des quatre points ».

Deux nouveaux points remarquables du triangle, les points X3610 et X3611, lui ont été attribués - ainsi qu’à Peter Moses - par Clark Kimberling dans son Encyclopedia of Triangle Centers.

Sur le Web : Le théorème d’Ayme

Geometry Géométrie Geometria

mercredi 2 novembre 2011

Geometry Géométrie Geometria est un site extrêmement riche réalisé par Jean-Louis Ayme : entièrement consacré à la géométrie du triangle, il mérite d’être visité longuement.

On pourra lire notamment le très attrayant volume 20 sur les cercles inscrits égaux, qui fait écho à des articles déjà publiés sur le site de l’IREM.

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