Entre abaque, boulier et ordinateur

mercredi 5 octobre 2016
par  André SEGUIN

Dans les années cinquante, la disparition des dix boules de la tige des unités du boulier, opérée par notre instituteur en blouse grise, m’avait paru magique. J’essaye dans cet article, qui s’adresse au niveau secondaire, de faire revivre cela au travers de l’élaboration d’un programme en relation étroite avec un boulier, qui construit les nombres premiers et permet un codage des entiers. Certaines questions qui ont animé et animent encore la communauté mathématique y apparaissent sous des formes différentes. Ce texte illustre d’une certaine façon les propos de D. Tournès :
« ...l’utilisation des artéfacts anciens, éventuellement instrumentalisés d’une nouvelle manière en interaction avec les ressources modernes disponibles... » (Perspectives historiques sur les abaques et bouliers, MathémaTICE, n° 51, septembre 2016).

Principe de l'algorithme

Au début (compteur = 1), on a une seule case marquée "2", et vide. Ensuite:

  1. On ajoute une bille (bleue) à chaque case ;
  2. On compare le nombre de billes dans chaque case, au numéro de la case ;
  3. On vide les cases ayant autant de billes que leur numéro ;
  4. Si on n'a vidé aucune case, on ajoute une case au tableau, portant le numéro du compteur, et initialement vide.
  5. On incrémente le compteur.



On a bouclé fois.

Le programme initial, écrit avec le logiciel Xcas, fournit les nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Il ne fait pas appel aux notions de cribles, de diviseurs ou de multiples. Il est simplement manipulatoire. Pour l’interpréter, nous utiliserons un abaque composé d’une seule tige verticale et pouvant recevoir un grand nombre de jetons, et un boulier dont les tiges verticales ne peuvent recevoir qu’un nombre limité de boules.

Une version légèrement modifiée du programme permet de coder les nombres entiers. Ce codage est très éloigné des codes de numération qui n’utilisent qu’un nombre restreint de symboles et, de plus, on imagine mal l’utiliser pour effectuer des opérations. Il permet pourtant de visualiser sous un éclairage nouveau certaines grandes questions qui ont agité le monde mathématique pendant des siècles : résultat d’Euclide sur l’infinitude des nombres premiers, théorème des nombres premiers d’Hadamard et de La Vallée Poussin, théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, postulat de Bertrand, conjecture des nombres premiers jumeaux, théorème de Sylvester.


Documents joints

Entre abaque, boulier et ordinateur
Entre abaque, boulier et ordinateur
Un article d’André Seguin

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Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 8 mars 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
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- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6

Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

Décès de Kenneth Arrow

mercredi 15 mars

La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

Galeries CaRMetal

dimanche 19 avril 2009

Le site CaRMetal autorise depuis le 19 avril la possibilité pour les utilisateurs de mettre en ligne leurs propres galeries. Un premier diaporama venant de notre IREM est disponible (sur l’aimantation). D’autres (Alain ?) devraient suivre assez rapidement.

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