Théorie du choix social - Épisode 3 - Une version cardinale de la théorie

jeudi 20 octobre 2016
par  Olivier SICARD

Liens vers les quatre épisodes de la théorie du choix social :

Introduction

En théorie du choix social, il semble évident que puisque l’on se préoccupe de « choix », la façon dont on modélise les préférences joue un rôle crucial dans la théorie.

Jusqu’à présent, dans les épisodes 1 et 2, nous avons représenté les préférences individuelles et collectives d’un point de vue ordinal en appliquant un préordre total sur l’ensemble des alternatives possibles. Cependant, cette façon de représenter les préférences ne prend pas en compte la force avec laquelle une alternative peut en surclasser une autre. En effet, que l’alternative x soit largement ou légèrement préférée à l’alternative y, la traduction en terme de préordre sera dans les deux cas : xPy ou oyx = 1 si l’on utilise la notation matricielle, pourtant nous avons tous connu des moments où, face à un choix, la réponse était évidente tellement l’une des options surclassait de loin toutes les autres, et inversement il nous est tous arrivé d’avoir des choix diffciles à faire, puisque nous étions plus ou moins indifférents aux alternatives proposées.

La question de la modélisation ordinale ou cardinale des choix a largement été discutée au cours des dernières décennies. Pour Pareto et ses disciples par exemple, l’observation des choix concrets de l’individu permettrait d’établir s’il préfère x à y, et y à z, mais non pas s’il préfère plus fortement x à y qu’il ne préfère y à z. D’ailleurs Arrow lui-même approuve entièrement cette analyse, et récuse donc le concept de cardinalité au profit de celui d’ordinalité pour arriver à son incontournable théorème d’impossibilité.

Ces dernières années pourtant plusieurs auteurs se sont intéressés à la théorie cardinale du choix social. Citons quelques exemples : Brams et Fishburn ont publié dans les années 1980 leurs travaux sur le vote par approbation et ses propriétés, en 1984 Duncan publie Notes on Social Measurement : Historical and Critical. Plus récemment en 2000, Smith travaille sur le range-voting, caractérisé par Pivato en 2013. Hillinger, quant à lui, publie en 2014 Voting and the Cardinal Agregation of Judgments, dans lequel il défend bec et ongles la théorie cardinale du choix social et plus particulièrement les méthodes 3-chotomiques et 5-chotomiques. Le vote 3-chotomique sera d’ailleurs caractérisé en 2013 par Alcantud et Laruelle.

Nous allons dans ce troisième épisode nous affranchir de ces considérations pour nous demander uniquement ce que donne la théorie cardinale du choix social, c’est à dire si nous considérons que chaque individu est à même d’associer une intensité à ses préférences.

Nous commencerons par modéliser les préférences cardinales à l’aide de matrices et nous verrons que contrairement au cas ordinal, l’espace de ces matrices est un espace vectoriel que nous étudierons. Dans un second temps, nous redéfinirons dans le contexte cardinal les propriétés démocratiques énoncées précédemment dans le contexte ordinal et pour finir, nous étudierons les fonctions de choix social linéaires (espace vectoriel oblige) et verrons quels sont les impacts des propriétés démocratiques nouvellement redéfinies sur ces fonctions de choix social particulières.

Cette étude nous amènera tout d’abord à caractériser la fonction somme dans le cadre cardinal de la théorie du choix social, ce qui nous permettra alors de reconsidérer le théorème d’impossibilité d’Arrow.

[Télécharger le document joint pour lire la suite.]

Table des matières

  • I Introduction
  • II Modélisation cardinale des préférences individuelles et collectives
    • II.1 Les matrices de préférences cardinales
    • II.2 Les espaces vectoriels Kp(R) et Kp(R)n
      • II.2.1 Kp(R) - dimension et base canonique
      • II.2.2 L’espace vectoriel des profils cardinaux Kp(R)n
      • II.2.3 Méthode d’agrégation cardinale arrowienne
  • III Version cardinale des propriétés démocratiques des fonctions de choix social
    • III.1 Le principe d’Universalité (U)
    • III.2 Le principe d’Unanimité - ou de Pareto faible (P)
    • III.3 Le principe d’indifférence aux alternatives non pertinentes (I)
    • III.4 Le principe de non-dictature (D)
    • III.5 Le principe de non-dictature forte (DF)
    • III.6 Le principe de neutralité (N)
    • III.7 Le principe d’anonymat (A)
    • III.8 La monotonie stricte (MS)
  • IV Les fonctions de choix social linéaires
    • IV.1 Pourquoi les fonctions de choix social linéaires ?
    • IV.2 Propriétés démocratiques des fonctions de choix social linéaires
      • IV.2.1 Premier avantage : Pas de cycle possible
      • IV.2.2 Deuxième avantage : l’Universalité (U)
      • IV.2.3 Le principe d’Indifférence aux alternatives non pertinentes (I)
      • IV.2.4 Le principe de neutralité (N)
      • IV.2.5 Le principe d’Unanimité (P)
      • IV.2.6 Le principe de non-dictature (D) et de non-dictature forte (DF)
      • IV.2.7 Le principe d’anonymat (A)
    • IV.3 Quasi-caractérisation de la fonction somme
    • IV.4 Le théorème d’impossibilité d’Arrow en théorie cardinale du choix social
  • V Conclusion
  • VI Bibliographie

Documents joints

Une version cardinale de la théorie
Une version cardinale de la théorie

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Décès de Kenneth Arrow

mercredi 15 mars

La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

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lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

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Sur le Web : Le blog du prof geek

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dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

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