Théorie du choix social - Épisode 4 - Les fonctions d’agrégation quasi universelles

jeudi 20 octobre 2016
par  Olivier SICARD

Liens vers les quatre épisodes de la théorie du choix social :

Introduction

Chez l’Homme la vue est sûrement le sens, parmi les cinq, le plus développé, pourtant lorsque nous regardons quelque chose, voyons-nous la réalité de cet objet ou alors seulement une image de celui-ci ? En ce moment vous lisez ces quelques mots sur une page blanche, vous voyez ces mots, mais voyez-vous les éventuels plis sur la feuille ? Les éventuelles taches ? Voyez-vous les atomes de carbone qui composent cette feuille et voyez-vous l’épaisseur de l’encre par-dessus celle-ci ? Évidemment non, nos yeux ne nous renvoient pas la réalité, mais seulement une image de cette réalité plus ou moins floue.

Dans le même ordre d’idée, aucun individu n’est capable d’accéder à sa propre matrice réelle des préférences cardinales lorsqu’il a un choix à faire, tout cela par la faute du flou (ou grâce au flou) qui régit tous nos choix. L’Homme est un champion de l’approximation, et cette capacité n’est pas forcément à interpréter comme un défaut ou une tare, mais plutôt comme une compétence qui lui est indispensable pour rapidement faire ses choix, qu’ils soient conscients ou inconscients, parmi la multitude de décisions qu’il a à prendre chaque jour.

La relation d’indifférence elle-même est de nature floue, puisqu’elle stipule que deux alternatives différentes sont considérées comme indifférentes. Pour reprendre le célèbre exemple de la tasse de café, entre un café sans sucre et un café avec un grain de sucre, la différence est de... un grain de sucre, pourtant nous y sommes indifférents ; mais nous ne sommes pas indifférents entre un café sans sucre et un café avec deux cuillères de sucre. Combien de grains de sucre faut-il pour créer la stricte préférence ? Cela dépend des goûts et de la finesse du palais de chacun, mais il est certain que nous pouvons être indifférents à des choses qui en réalité ne le sont pas.

Nous sommes donc incapables de préciser exactement à quel point nous préférons l’alternative a à l’alternative b, nous pouvons juste l’estimer de manière floue : « Je préfère un peu, beaucoup, passionnément, à la folie... ». Un autre problème apparait alors : comment mesurer l’écart entre « passionnément » et « à la folie » ? Chaque individu adoptera une unité de mesure qui lui est propre ! Cependant, dans ces conditions, il sera impossible d’agréger des préférences individuelles, car elles seront incommensurables.

Dans une première partie, nous verrons en quoi la propriété d’Universalité pose problème en Théorie cardinale du choix social, nous ferons un tour d’horizon des méthodes de votes les plus connues et constaterons qu’aucune d’entre elles ne vérifie la propriété d’Universalité. Dans un second temps, nous définirons la notion de quasi-universalité, examinerons parmi les méthodes de votes présentées si celles-ci vérifient ou non cette propriété de quasi-universalité et tenterons de définir de manière générale les méthodes d’agrégation quasi universelles, puis nous conclurons.

[Télécharger le document joint pour lire la suite.]

Table des matières

  • I Introduction 3
  • II Le problème de l’universalité cardinale et les échelles de notes
    • II.1 La fin de l’Universalité
    • II.2 Tour d’horizon des méthodes de vote cardinal
      • II.2.1 Le scrutin majoritaire uninominal à un tour
      • II.2.2 Le vote par approbation (ou assentiment)
      • II.2.3 La méthode de Borda
      • II.2.4 Le vote k-chotomique
      • II.2.5 Le range-voting
    • II.3 Récapitulatif
    • II.4 Méthodes d’agrégation équivalentes
    • II.5 Topologie de l’espace des fonctions d’agrégations cardinales
      • II.5.1 La topologie de la fonction indicatrice
      • II.5.2 Le range voting comme limite simple du vote k-chotomique
  • III Universalité et quasi-universalité
    • III.1 Fonction de floutage
    • III.2 Propriété de quasi-universalité
    • III.3 Tour d’horizon des méthodes de votes - étude de leur quasi-universalité
      • III.3.1 Le scrutin majoritaire uninominal à un tour
      • III.3.2 Le vote par approbation
      • III.3.3 La méthode de Borda
      • III.3.4 Le vote k-chotomique
      • III.3.5 Le range-voting
    • III.4 Description des méthodes d’agrégation quasi universelles
  • IV Conclusion
  • V Bibliographie

Documents joints

Les fonctions d'agrégation quasi universelles
Les fonctions d'agrégation quasi universelles

Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 28 novembre 2018, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6.
- Mercredi 13 février 2019, 14h-18h, campus du Tampon.
- Mercredi 6 mars 2019, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6.
- Mercredi 10 avril 2019, 14h-18h, campus du Tampon.

Colloque EDIM-IREM

- Mercredi 5 juin 2019, 9h-12h et 14h-17h, Saint-Denis.

Fête de la science

- Du 10 au 18 novembre 2018. Thème : « Idées reçues ».

Semaine des mathématiques et congrès MATh.en.JEANS

- Du 25 au 31 mars 2019. Thème : « Jouons ensemble aux mathématiques ».


Brèves

Promenade singulière sur les points singuliers

vendredi 24 août

Le livre promenades d’Étienne Ghys est disponible au téléchargement sur le site de l’ENS de Lyon. Largement illustré, ce livre consacré à un problème de Maxime Kontsevitch dont l’énoncé est plutôt élémentaire, est une promenade dans toutes les mathématiques, informatique comprise, et pourrait bien réconcilier informaticiens et mathématiciens !

Gerbert sur Youtube

lundi 13 août

L’abaque de Gerbert possède désormais sa chaîne sur Youtube. Cela permet de se familiariser avec cet outil « innovant » pour l’apprentissage du calcul en cycles 2 et 3.

Nouveau record de nombre premier

mercredi 10 janvier

Depuis fin 2017, le plus grand nombre premier connu est 277 232 917-1, il s’agit donc d’un nombre de Mersenne. Son écriture décimale comprend plus de 23 millions de chiffres. On notera que cela signifie que 77 232 917 est lui-même un nombre premier (résultat de Fermat).

Comprendre la logique Shadok

dimanche 30 avril 2017

Le meilleur cours de maths Shadok jamais réalisé...
Vidéo succulente ajoutée sur la canal des archives de l’INA le 26 avril 2017.

Décès de Kenneth Arrow

mercredi 15 mars 2017

La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Statistiques

Dernière mise à jour

dimanche 18 novembre 2018

Publication

798 Articles
Aucun album photo
138 Brèves
11 Sites Web
140 Auteurs

Visites

359 aujourd'hui
1603 hier
2554501 depuis le début
70 visiteurs actuellement connectés