Théorie du choix social - Épisode 4 - Les fonctions d’agrégation quasi universelles

jeudi 20 octobre 2016
par  Olivier SICARD

Liens vers les quatre épisodes de la théorie du choix social :

Introduction

Chez l’Homme la vue est sûrement le sens, parmi les cinq, le plus développé, pourtant lorsque nous regardons quelque chose, voyons-nous la réalité de cet objet ou alors seulement une image de celui-ci ? En ce moment vous lisez ces quelques mots sur une page blanche, vous voyez ces mots, mais voyez-vous les éventuels plis sur la feuille ? Les éventuelles taches ? Voyez-vous les atomes de carbone qui composent cette feuille et voyez-vous l’épaisseur de l’encre par-dessus celle-ci ? Évidemment non, nos yeux ne nous renvoient pas la réalité, mais seulement une image de cette réalité plus ou moins floue.

Dans le même ordre d’idée, aucun individu n’est capable d’accéder à sa propre matrice réelle des préférences cardinales lorsqu’il a un choix à faire, tout cela par la faute du flou (ou grâce au flou) qui régit tous nos choix. L’Homme est un champion de l’approximation, et cette capacité n’est pas forcément à interpréter comme un défaut ou une tare, mais plutôt comme une compétence qui lui est indispensable pour rapidement faire ses choix, qu’ils soient conscients ou inconscients, parmi la multitude de décisions qu’il a à prendre chaque jour.

La relation d’indifférence elle-même est de nature floue, puisqu’elle stipule que deux alternatives différentes sont considérées comme indifférentes. Pour reprendre le célèbre exemple de la tasse de café, entre un café sans sucre et un café avec un grain de sucre, la différence est de... un grain de sucre, pourtant nous y sommes indifférents ; mais nous ne sommes pas indifférents entre un café sans sucre et un café avec deux cuillères de sucre. Combien de grains de sucre faut-il pour créer la stricte préférence ? Cela dépend des goûts et de la finesse du palais de chacun, mais il est certain que nous pouvons être indifférents à des choses qui en réalité ne le sont pas.

Nous sommes donc incapables de préciser exactement à quel point nous préférons l’alternative a à l’alternative b, nous pouvons juste l’estimer de manière floue : « Je préfère un peu, beaucoup, passionnément, à la folie... ». Un autre problème apparait alors : comment mesurer l’écart entre « passionnément » et « à la folie » ? Chaque individu adoptera une unité de mesure qui lui est propre ! Cependant, dans ces conditions, il sera impossible d’agréger des préférences individuelles, car elles seront incommensurables.

Dans une première partie, nous verrons en quoi la propriété d’Universalité pose problème en Théorie cardinale du choix social, nous ferons un tour d’horizon des méthodes de votes les plus connues et constaterons qu’aucune d’entre elles ne vérifie la propriété d’Universalité. Dans un second temps, nous définirons la notion de quasi-universalité, examinerons parmi les méthodes de votes présentées si celles-ci vérifient ou non cette propriété de quasi-universalité et tenterons de définir de manière générale les méthodes d’agrégation quasi universelles, puis nous conclurons.

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Table des matières

  • I Introduction 3
  • II Le problème de l’universalité cardinale et les échelles de notes
    • II.1 La fin de l’Universalité
    • II.2 Tour d’horizon des méthodes de vote cardinal
      • II.2.1 Le scrutin majoritaire uninominal à un tour
      • II.2.2 Le vote par approbation (ou assentiment)
      • II.2.3 La méthode de Borda
      • II.2.4 Le vote k-chotomique
      • II.2.5 Le range-voting
    • II.3 Récapitulatif
    • II.4 Méthodes d’agrégation équivalentes
    • II.5 Topologie de l’espace des fonctions d’agrégations cardinales
      • II.5.1 La topologie de la fonction indicatrice
      • II.5.2 Le range voting comme limite simple du vote k-chotomique
  • III Universalité et quasi-universalité
    • III.1 Fonction de floutage
    • III.2 Propriété de quasi-universalité
    • III.3 Tour d’horizon des méthodes de votes - étude de leur quasi-universalité
      • III.3.1 Le scrutin majoritaire uninominal à un tour
      • III.3.2 Le vote par approbation
      • III.3.3 La méthode de Borda
      • III.3.4 Le vote k-chotomique
      • III.3.5 Le range-voting
    • III.4 Description des méthodes d’agrégation quasi universelles
  • IV Conclusion
  • V Bibliographie

Documents joints

Les fonctions d'agrégation quasi universelles
Les fonctions d'agrégation quasi universelles

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Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 8 mars 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
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Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

Décès de Kenneth Arrow

mercredi 15 mars

La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

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lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

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Sur le Web : Le blog du prof geek

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dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

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dimanche 19 avril 2009

Le site CaRMetal autorise depuis le 19 avril la possibilité pour les utilisateurs de mettre en ligne leurs propres galeries. Un premier diaporama venant de notre IREM est disponible (sur l’aimantation). D’autres (Alain ?) devraient suivre assez rapidement.

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