Corrigé de l’exercice « spé » du bac S Métropole/Réunion 2017

mardi 8 août 2017
par  Alain BUSSER

Le sujet peut être trouvé ici. L’exercice portait sur les triangles rectangles presque isocèles (différence entre les côtés de l’angle droit égale à 1) à côtés entiers, comme le célèbre (3,4,5) ou le moins célèbre (20,21,29) :

On appelle « triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs x et x+1, et dont l’hypoténuse a pour longueur y, où x et y sont des entiers naturels.
Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l’angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l’hypoténuse est un nombre entier.

Si le triangle de côtés x, x+1 et y, où y est la longueur de l’hypoténuse, est un TRPI, on dira que le couple (x ; y) définit un TRPI.

Partie A

1. Démontrer que le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI si, et seulement si, on a : 2x²+2x+1=y²

Positionnement du problème

Si on nomme x, y et z les longueurs des côtés d’un triangle rectangle, le point de coordonnées (x,y,z) est situé sur un cône (représenté en bleu ci-dessous, x, y et z allant de -5 à 5) :

Un triplet pythagoricien est un point à coordonnées entières sur ce cône. Un TRPI correspond alors à un point sur ce cône, dont l’ordonnée est y=x+1 : Ceci est l’équation d’un plan (en rouge ci-dessous) qui coupe le cône selon une hyperbole :

Dans ce plan, l’équation de l’hyperbole est x²+(x+1)²=z² soit 2x²+2x+1=z². La réponse à la question 1 consistait donc à appliquer le théorème de Pythagore dans le TRPI.

On en arrive donc à chercher les points de coordonnées entières sur l’hyperbole d’équation 2x²+2x+1=y² :

Remarquer que les points tendent si vite vers l’infini que l’hyperbole est pratiquement confondue avec son asymptote. Ci-dessus on a interverti x et y pour caser plus de points sur la figure. L’exercice vise donc à résoudre une équation diophantienne.

2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3 ; 5).

Corrigé

C’est justement de cette manière que Fermat résolvait les équations de Pell :

  1. déterminer (par essais successifs) la plus petite solution de l’équation diophantienne (ici (3 ;5) qui correspond au triangle 3-4-5) ;
  2. Trouver comment on peut passer de chaque solution à la suivante (à l’aide de matrices) et ainsi avoir un moyen algorithmique de décrire toutes les solutions.

On peut dire que cette méthode consiste à décrire les solutions de l’équation diophantienne par une équation paramétrique de l’hyperbole. La question 2 visait à trouver la plus petite solution. Ce script montre que la plus petite valeur de x non nulle qui convient est 3 :

On en déduit y=5.

3. a. Soit n un entier naturel. Montrer que si n² est impair alors n est impair.
b. Montrer que dans un couple d’entiers (x ;y) définissant un TRPI, le nombre y est nécessairement impair.

Corrigé

Pour le a, une démonstration par contraposition est simple, puisque la contraposée de ce qui est à démontrer est « si n est pair alors son carré aussi » :

  • Si n est pair alors il existe k tel que n=2k ;
  • Mais alors, n²=(2k)²=4k² est un multiple de 4.
  • A fortiori c’est un nombre pair.

Pour le b, on va utiliser le a, par exemple en réduisant modulo 2 l’expression 2x²+2x+1 qui, modulo 2, donne 0+0+1 : Le premier membre de l’équation est impair puisqu’il vaut 1 modulo 2. Mais il est égal à y² qui est impair aussi, et d’après le a il en est de même pour y lui-même.

4. Montrer que si le couple d’entiers naturels (x ;y) définit un TRPI, alors x et y sont premiers entre eux.

Corrigé

Si d est un diviseur commun à x et y alors, modulo d :

  • 2x² se réduit à 0 (car il est divisible par d) ;
  • 2x se réduit à 0 aussi
  • 1 se réduit à 1
  • donc 2x²+2x+1 est égal à 1, modulo d.

Mais puisque y² est divisible par d (par hypothèse), modulo d, l’équation 2x²+2x+1=y² se réduit à 0=1 ce qui montre par l’absurde que x et y n’ont pas de diviseur commun d : Ils sont premiers entre eux.

Partie B

On note A la matrice carrée, et B la matrice colonne ci-dessous :

À U=(x,y) on fait subir les transformations suivantes :

  • transposer U pour avoir un vecteur colonne ;
  • multiplier la matrice A par ce vecteur colonne ;
  • Additionner au résultat, le vecteur colonne B.

Le vecteur colonne résultant est, comme on va le voir ci-dessous, à nouveau une solution de l’équation diophantienne.

1. Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.
a. Montrer que : y′²−2x′(x′+1)=y²−2x(x+1).
b. En déduire que si le couple (x ;y) définit un TRPI, alors le couple (x′ ;y′) définit également un TRPI.

Corrigé

Avec le calcul matriciel on trouve

  • x’=3x+2y+1
  • y’=4x+3y+2

qui a été programmé en CaRScript pour le dessin sur hyperbole ci-dessus :

for([x,y]=[3,5];x<=2017;[x,y]=[3*x+2*y+1,4*x+3*y+2]){
        Println([x,y]);
}
Println([x,y]);

dont la version francisée [1] est

for([x,y][3,5];x≤2017;[x,y][3*x+2*y+1,4*x+3*y+2]){
        afficher([x,y]);
}
afficher([x,y]);

a. En remplaçant x’ par 3x+2y+1 et y’ par 4x+3y+2 dans l’expression y′²−2x′(x′+1) on trouve (4x+3y+2)²-2(3x+2y+1)(3x+2y+1+1), qui, après développement, donne y²-2x²-2x ; or en développant y²−2x(x+1) on a aussi y²-2x²-2x cqfd.

Remarque : Les compétences en calcul formel qui sont requises pour cette question ne vont pas au-delà du développement de produits de sommes de 3 termes. Pour autant, sur ce genre de questions, les élèves possesseurs d’une calculatrice « calcul formel » sont avantagés, et il est à se demander si la « spé maths » ne va pas, à terme, être réservée aux élèves ayant les moyens d’acquérir une telle calculatrice...

Le calcul formel est, ceci dit, à la portée de Sofus :

b. Du coup si le second membre est nul, il en est de même pour le premier : Si (x ;y) représente un TRPI, il en est de même pour (x’ ;y’).

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, le couple (xn ;yn) définit un TRPI.

Corrigé

  • Initialisation

Par hypothèse x0=3 et y0=5 et on a vu à la question 2 de la partie A que (3,5) représente un TRPI.

  • Hérédité

L’hypothèse de récurrence est que (xn,yn) représente un TRPI. Alors, d’après le 1.b, (xn+1,yn+1) aussi.

3. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2017.

Corrigé

Les deux choix sont :

  • Calculer les termes successifs de la suite récurrente (ce qui a été fait avec CaRMetal) ;
  • Multiplier par A et ajouter B répétitivement ;

dans les deux cas, jusqu’à ce que x dépasse 2017.

On trouve, avec les matrices comme vu ci-dessous, ce début de liste :

[20, 29]
[119, 169]
[696, 985]
[4059, 5741]
[23660, 33461]
[137903, 195025]
[803760, 1136689]
[4684659, 6625109]
[27304196, 38613965]
[159140519, 225058681]

C’est le quatrième qui convient, et on peut vérifier que 4059²+4060²=32959081 et 5741²=32959081 aussi. Le triplet (4059 ; 4060 ; 5741) est donc pythagoricien.

Comme on a déterminé au début de l’exercice que les plus petites valeurs de (x,y) possibles sont (3,5), on itère l’affinité à partir de U=(3,5) :

Comment améliorer l’énoncé ?

La transformation donnée dans l’exercice est affine, parce qu’il y a multiplication par une matrice et addition d’un vecteur constant. En changeant de repère, on peut annuler ce vecteur constant, et du coup non seulement l’algorithme est plus simple parce qu’il n’y a que la matrice, mais en plus la partie portant sur le calcul formel est considérablement plus simple, parce que chaque facteur n’a plus que 2 termes au lieu de 3.

On peut réécrire l’équation du sujet de bac ainsi :

  • 2x²+2x+1=y²
  • 4x²+4x+2=2y² (multiplication des deux membres par 2)
  • 4x²+4x+1+1=2y²
  • (2x+1)²+1=2y²
  • X²+1=2Y² (en notant X=2x+1 et Y=y)

L’équation définissant les TRPI peut maintenant s’écrire X²-2Y²=-1 : C’est une équation de Pell-Fermat. En fait, on est sur la même hyperbole mais son équation cartésienne a changé parce qu’elle n’est plus décrite dans le même repère. De plus, alors que l’ordonnée désigne toujours la longueur de l’hypoténuse, l’abscisse est la somme des côtés de l’angle droit, et pas le plus petit côté lui-même : Les côtés du TRPI sont (X-1)/2, (X+1)/2et Y. Par exemple, le triangle (20,21,29) est décrit dans le sujet de bac par le couple (20,29) et ici, par le couple (41,29).

On peut donc parcourir les 20 premiers triplets pythagoriciens désignant des TRPI par ce genre d’itérateur :

def trpi(x,y):
        assert(x**2-2*y**2==-1)
        for n in range(20):
                yield ((x-1)/2,(x+1)/2,y)
                x,y = 3*x+4*y,2*x+3*y

Avec cet affichage :

for t in trpi(7,5):
        print(t)

on obtient ces triplets :

(119, 120, 169)
(696, 697, 985)
(4059, 4060, 5741)
(23660, 23661, 33461)
(137903, 137904, 195025)
(803760, 803761, 1136689)
(4684659, 4684660, 6625109)
(27304196, 27304197, 38613965)
(159140519, 159140520, 225058681)
(927538920, 927538921, 1311738121)
(5406093003L, 5406093004L, 7645370045L)
(31509019100L, 31509019101L, 44560482149L)
(183648021599L, 183648021600L, 259717522849L)
(1070379110496L, 1070379110497L, 1513744654945L)
(6238626641379L, 6238626641380L, 8822750406821L)
(36361380737780L, 36361380737781L, 51422757785981L)
(211929657785303L, 211929657785304L, 299713796309065L)
(1235216565974040L, 1235216565974041L, 1746860020068409L)

Dans ce nouveau repère,

  • x’=3x+2y+1 devient X’=2x’+1=2(3x+2y+1)+1=6x+4y+2+1=6x+3+4y=3(2x+1)+4y=3X+4Y
  • y’=4x+3y+2 devient Y’=y’=4x+2+3y=2(2x+1)+3y=2X+3Y

Et l’algorithme devient

Géométrie hyperbolique

On constate que la matrice M ci-dessus a un déterminant 1 : Elle peut donc être associée au demi-plan de Poincaré par la fonction z⟼(3z+4)/(2z+3). Or les matrices à coefficients entiers et de déterminant 1 sont engendrées par les deux matrices U et S ci-dessous :

La matrice S est d’ordre 2 parce que S²=-S ; et la matrice U est d’ordre 3. On note U’ l’inverse de U et S’ l’inverse de S. Le script ci-dessus montre que M=US’U’SU’S’US. Les puissances de M sont donc un sous-groupe du groupe des homographies du demi-plan de Poincaré.

Dans le demi-plan de Poincaré, l’infini est l’axe des abscisses. On peut donc voir « diverger rapidement » la suite des itérés de l’homographie dans le demi-plan de Poincaré. Ici, b=3 pour le sujet de bac et dans ce cas, la « convergence » se fait vers le nombre complexe √2 (qui est à l’infini puisque c’est un réel et que dans le demi-plan de Poincaré, les réels sont à l’infini !) :

Remarque sur cette figure : Le calcul sur les nombres complexes ne fonctionne pas dans la boucle, à cause de ce principe des expressions DGPad : Tout ce qui est avant le dernier point-virgule est du JavaScript ; seulement ce qui est après le dernier point-virgule est du DGPad.

Comme JavaScript ne reconnaît pas nativement les nombres complexes, il faut utiliser les fonctions de DGPad plus, times et quotient. Voici le source de la figure ci-dessus pour le vérifier (définition de l’expression E1 ; orbite est le nuage de points dans lequel on pousse au fur et à mesure les valeurs de z. Ici l’homographie itérée est (bz+b+1)/((b-1)z+b) qui est toujours de déterminant 1) :

// Coordinates System :
SetCoords(231.5,230,40,false,1001,579);
// Geometry :
P1=Point("P1",-3.8625,4.125);
b=Expression("b","b =","2","22","3","-5.5375","-1.5");
E1=Expression("E1","","","","var p=P1,orbite=[p];for(var n=1;n<=5;n++){p=quotient(plus(times(b,p),b+1),plus(times(b-1,p),b));orbite.push(p)};orbite","-4.7875","-3");
List1=List("List1",E1);
// Styles :
STL(P1,"c:#0000b2;s:6;f:30");
STL(b,"c:#007c7c;s:7;sn:true;f:24;p:2;i:1;cL:200;cPT:YzojMDA3YzdjO286MC41O3M6Ni41O2Y6MzA7aTox");
STL(E1,"c:#3d465f;h:1;s:7;f:24;p:2;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(List1,"c:#760012;s:0.8;f:30;p:0;sg:1");
SetCoordsStyle("isAxis:true;isGrid:true;isOx:true;isOy:true;isLockOx:false;isLockOy:false;centerZoom:false;onlyPositive:false;color:#111111;fontSize:18;axisWidth:1;gridWidth:0.1");
SetGeneralStyle("background-color:#F8F8F8;degree:true;dragmoveable:true");
// Texts :
Text("En rouge, l'orbite du point bleu \nsous l'it\u00e9ration de $\\frac{%b%z+%b+1%}{%b-1%z+%b%}$\nqui repr\u00e9sente la matrice $\\left( \\begin{array}{rr}%b% & %b+1% \\\\ %b-1% & %b% \\end{array}\\right)$\nde d\u00e9terminant 1: C'est une isom\u00e9trie \ndu demi-plan de Poincar\u00e9.",259,23,305,160,"c:rgba(59,79,115,0.18);s:3;r:15;p:4");

En bas de cet article, est évoquée une autre matrice de déterminant 1. Elle fait partie d’une autre famille de matrices, que voici :

Matrices encore plus simples

L’énoncé serait plus simple à ce stade là. Mais on peut encore simplifier, sinon l’énoncé, du moins les calculs, avec ce script testant une racine carrée d’une matrice carrée :

En effet il donne

[3, 4]
[2, 3]

Ceci suggère d’étudier, non les puissances de la matrice A de l’énoncé, mais celles de cette nouvelle matrice M, et de prendre une valeur sur deux seulement, comme étant sur l’hyperbole (l’autre valeur étant sur une autre hyperbole) :

L’hyperbole rouge a pour équation x²-2y²=-1 (c’est celle qui donne les TRPI), et l’hyperbole bleue a pour équation x²-2y²=1. On constate que les deux hyperboles ont les mêmes asymptotes et s’en rapprochent très vite. Mais avec un calcul similaire à celui du bac, on montre que si x’=x+2y et y’=x+y alors x’²-2y’²=-(x²-2y²). Ceci signifie que la multiplication par la matrice M transforme un point bleu en un point rouge et un point rouge en un point bleu.

Placer ces points dans un repère logarithmique peut se faire avec ce nouvel itérateur :

import matplotlib.pyplot as plt
def pell(x,y):
        for n in range(10):
                yield (x,y)
                x,y = x+2*y,x+y
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
               
for x,y in pell(1,1):
        if x**2-2*y**2>0:
                plt.plot([x],[y],'b^')
        else:
                plt.plot([x],[y],'rs')
        plt.annotate((x,y),xy=(x,y))
               
plt.show()

Le dessin en coordonnées logarithmiques est plus lisible que celui avec les hyperboles :

On constate que si, dans l’exercice du bac, on divise l’ordonnée de U par son abscisse, les quotients successifs tendent rapidement vers √2 :

1.45
1.4201680672268908
1.4152298850574712
1.4143877802414389
1.4142434488588336
1.4142186899487321
1.4142144421220264
1.414213713314032
1.414213588270462
1.4142135668163807

Ce n’est pas étonnant : Si un triangle est presque isocèle, son hypoténuse vaut presque √2 fois le plus petit côté. C’est d’ailleurs en cherchant des approximations rationnelles de √2 qu’ont été découvertes les équations de Pell-Fermat. Les points bleus et les points rouges représentent des approximations différentes de √2, les rouges étant des TRPI, les bleus, non.

Voici donc un exercice assez voisin mais donnant lieu à des prolongements multiples :

Les ordonnées des vecteurs successifs forment une suite presque géométrique :

1
2
5
12
29
70
169
408
985
2378

Nombres de Pell

Ces nombres s’appellent nombres de Pell. Ils ressemblent à ceux de Fibonacci sauf qu’au lieu d’additionner les deux nombres précédents pour avoir le nombre courant, on additionne encore une fois supplémentaire l’avant-dernier terme de la suite. Autrement dit, alors que pour les nombres de Fibonacci

Fn+2=Fn+1+Fn,

pour les nombres de Pell :

Pn+2=2×Pn+1+Pn

Une suite géométrique vérifiant cette relation de récurrence doit avoir une raison r vérifiant r²=2r+1 (au lieu de r²=r+1 pour les suites de Lucas et Fibonacci) soit r=1-√2 (négative mais de valeur absolue inférieure à 1, donc vite négligeable) ou r=1+√2 : La « presque raison » de la suite de Pell est le nombre d’argent (alors que celle de la suite de Fibonacci est le nombre d’or).

On peut donc calculer les nombres de Pell par une relation matricielle de ce genre :

Il résulte de la définition par récurrence des nombres de Pell, que chaque nombre de Pell est « presque la moyenne géométrique » du précédent et du suivant, au sens où Pn-1×Pn+1-Pn²=(-1)n. Mais aussi, que

Quant aux abscisses des vecteurs précédents, on les appelle nombres de Pell-Lucas, et ils vérifient la même relation de récurrence mais avec une condition initiale différente. Ceux-ci sont assez faciles à calculer : Ce sont les moitiés des arrondis des puissances du nombre d’argent.

Entiers quadratiques

On peut partir d’une autre constatation, faite régulièrement au brevet des collèges : Si on considère des nombres de la forme a+b√2, après développement et simplification, on découvre que la somme de deux tels nombres est encore un nombre de la même sorte, et idem non seulement pour la différence, mais même pour le produit. On résume cela en disant que ces nombres forment un anneau, et il est possible de mener dans cet anneau des calculs similaires à ceux sur les entiers relatifs. En particulier on peut effectuer une division euclidienne...

Pour programmer cette structure d’anneau, on peut faire de la programmation objet avec Python 3 et sa reconnaissance de l’unicode :

class Entier2:
        def __init__(self,a=5,b=3):
                self.a = a
                self.b = b
        def __str__(self):
                return "{}+√̅2({})".format(self.a,self.b)
        def __add__(self,eq):
                return Entier2(self.a+eq.a,self.b+eq.b)
        def __sub__(self,eq):
                return Entier2(self.a-eq.a,self.b-eq.b)
        def __mul__(self,eq):
                return Entier2(self.a*eq.a+2*self.b*eq.b,self.a*eq.b+self.b*eq.a)
        def norme(self):
                return self.a**2-2*self.b**2
        def __pow__(self,n):
                p = Entier2(1,0)
                for k in range(n):
                        p = p*self
                return p

Ces méthodes aux noms compliqués ont pour effet que les opérations se notent comme d’habitude en Python :

x = Entier2(1,1)
y = Entier2(3,2)
print(x+y)
print(x-y)
print(x*y)

Ce script

x = Entier2(1,1)
for n in range(10):
        print(x**n)

donne la suite d’entiers quadratiques suivants :

1+√̅2(0)
1+√̅2(1)
3+√̅2(2)
7+√̅2(5)
17+√̅2(12)
41+√̅2(29)
99+√̅2(70)
239+√̅2(169)
577+√̅2(408)
1393+√̅2(985)

ce qui montre que les couples de nombres vus ci-dessus forment une suite géométrique de raison 1+√2 et de premier terme 1. Et comme les TRPI sont la moitié de ces points, les TRPI forment une suite géométrique de premier terme 1+√2 et de raison 3+2√2.

Entiers quadratiques et équations de Pell

Mais les équations diophantiennes vues ci-dessus prennent une autre signification dans le contexte des entiers quadratiques : Si on appelle a-b√2 le conjugué de a+b√2, alors le produit d’un entier quadratique par son conjugué est un entier relatif, égal à a²-2b² et appelé norme de a+b√2. Les solutions des deux équations diophantiennes vues ci-dessus sont donc les entiers quadratiques de norme 1 ou -1 : On les appelles unités des entiers quadratiques. Comme la norme d’un produit est le produit des normes [2], la notion de nombres quadratiques premiers est plus compliquée que dans le cas des entiers relatifs : L’unicité de la décomposition en facteurs premiers n’est assurée qu’à une unité près, et ça fait pas mal de choix...

Le script python ci-dessous permet de dessiner les entiers quadratiques premiers (en rouge ; les unités sont en vert) :

import matplotlib.pyplot as plt
def diviseurs(n):
        t = [1]
        for d in range(2,n+1):
                if n%d==0:
                        t.append(d)
        return t
def isPrime(n):
        return len(diviseurs(n))==2
for x in range(33):
        for y in range(25):
                N = abs(x**2-2*y**2)
                if isPrime(N):
                        plt.plot([x],[y],'ro')
                else:
                        if N==1:
                                plt.plot([x],[y],'g^')
                        else:
                                plt.plot([x],[y],'b.')
               
plt.show()

Les entiers quadratiques premiers sont assez nombreux, et il y a de surprenants alignements :

x²-3y²=1

Noter que c’est en résolvant de façon similaire l’équation diophantienne x²-3y²=1, qu’Édouard Lucas a trouvé le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne, encore utile de nos jours pour déterminer les plus grands nombres premiers connus. Les solutions de l’équation x²-3y²=1 se calculent ainsi :

Voir aussi cet article sur une autre équation diophantienne : On y retrouve l’idée de parcourir les points à coordonnées entières sur une hyperbole, sur lesquels l’identité de Brahmagupta définit une structure de groupe. Une autre structure de groupe, avec du degré 3 cette fois-ci, est décrite ici.


[1avec getZZ() qui se trouve dans la version 4.2 de CaRMetal

[2c’est l’identité de Brahmagupta, qui sert d’ailleurs à prouver les algorithmes de cet article.


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Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 22 novembre 2017, 14h-18h, campus du Tampon, amphi 120 D
- Mercredi 7 février 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 7 mars 2018, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 4 avril 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 2 mai, 14h-18h, campus du Tampon
- Mardi 5 juin 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 6 juin, 14h-18h, campus du Tampon

Fête de la science

Campus du Moufia, 16 et 17 novembre 2017.
Thème : « La recherche à l’heure du numérique »

Semaine des mathématiques

Du 26 au 31 mars 2018.
Thème : « Mathématiques et mouvement »


Brèves

Notation au bac

lundi 11 décembre

Une nouvelle notation sera pratiquée à partir de la session 2018 pour les algorithmes au bac. Elle est décrite avec de nombreux exemples, ici.

Décès de Roger Mohr

mardi 27 juin

On sait bien que Nicolas Bourbaki n’était pas le nom d’une personne mais le pseudonyme d’un groupe. L’équivalent en informatique théorique est Claude Livercy, auteur de la théorie des programmes. Roger Mohr était un des membres de Claude Livercy.

À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

dimanche 1er septembre 2013

Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

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dimanche 10 décembre 2017

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