Jeux mathématiques

Edouard Lucas, extrait de « Récréations mathématiques », une mine sur les jeux mathématiques

Ces jeux ne sont pas nécessairement inédits. Mais leur portage sur html5 leur donne une nouvelle vie.

Graphes

Les jeux suivants sont basés sur des colorations de graphes :

  • la Pipopipette
  • hex
  • « gale » ou « bridg-it » ou « connectia »
  • le jeu de circuit de Shannon, une généralisation de « gale »
  • sprouts

Voir aussi ce jeu d’awalé ainsi que ce jeu sur l’algèbre


Jeux de Nim sur graphes

Le graphe d’un jeu combinatoire est formé

  • de sommets, représentant les états successifs du jeu ;
  • d’arêtes (flèches), représentant les mouvements du jeu

L’ensemble des arêtes est la règle du jeu ; le graphe du jeu est très utile pour analyser le jeu et notamment pour trouver une stratégie gagnante : On se sert du graphe pour calculer le nimber du jeu, et le théorème de Sprague-Grundy fournit un algorithme simple pour repérer les cases gagnantes : Ce sont celles dont le nimber est nul... Pour un jeu impartial, le graphe est équivalent à un produit cartésien de jeux de Nim. Ce qui donne une grande importance à ces jeux.

Le jeu de Wythoff utilise l’échiquier comme graphe d’un jeu de Nim à deux tas, l’abscisse de la dame représentant la taille du premier tas, et son ordonnée représentant la taille du second tas. Le jeu de Welter en est la version monodimensionnelle : Par exemple un jeu de Nim avec des tas de tailles respectives 7, 2 et 4 (regarder les abscisses des pions) peut se jouer sur cet échiquier :

La règle du jeu est que chaque joueur peut bouger vers la gauche, d’autant de cases qu’il veut, un pion de son choix ; le premier joueur qui ne peut plus bouger (parce que tous les pions sont collés à gauche) perd.

Jouer à un jeu de Nim, c’est donc bouger un pion sur un graphe (celui du jeu), et il est possible de trouver la stratégie gagnante en marquant comme gagnantes ou perdantes les cases du jeu, comme l’on fait des élèves pendant la semaine des maths 2016. Voici le jeu de Nim sur trois tas de 2, sur son graphe à tester en ligne en cliquant dessus) :

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Jeu de Nim sur trois tas de taille initiale 2, modélisé sur le graphe du jeu (Sprague et Grundy)

Berlekamp, Conway et Guy ont trouvé que dans le jeu de Welter, on pouvait mettre les pions sur une seule ligne, comme le montre cette figure extraite de leur ouvrage :

Le jeu de Nim classique est repréenté sur la gauche, avec des tas de tailles respectives 7, 3, 3 et 5 (des pions du jeu de dames superposés) alors que la version montrée à droite n’utilise que 4 pions mais posés sur une ligne du damier. Les cases de cette ligne forment un graphe de jeu de Nim à un tas, avec la convention que chacune d’entre elles est « reliée » à toutes celles qui sont à sa gauche.

Voici le jeu de Nim précédent (3 tas de 2) sur le graphe de Welter (on peut le tester en ligne en cliquant dessus) :

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Jeu de Nim sur trois tas de taille initiale 2, version Conway et al

Comme on le voit, le graphe de Welter du jeu est nettement moins complexe que le graphe du jeu lui-même ; ceci permet de créer des jeux combinatoires très complexes avec les graphes de la fête de la science. Par exemple, en, disposant 3 pions sur les sommets en bas à gauche de ce graphe :

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Nim sur triangle

Le but du jeu est d’amener les trois pions en haut du graphe, et le gagnant est celui qui bouge le dernier pion.

Comme les sommets sont petits (et nombreux), on peut imposer une règle supplémentaire, selon laquelle on n’a pas le droit de mettre le pion sur une case déjà occupée (Berlekamp, Conway et Guy appellent ce genre de Nim un antonim). Voici la version jouable en ligne d’un tel jeu de Nim sur graphe, à 3 pions (cliquer l’image pour jouer) :

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Et la version « soustrais un carré » :

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Ici le but du jeu est d’amener les trois pions sur les trois dernières cases, un pion par case ; et le premier qui ne peut plus bouger de pion a perdu.

On peut, au contraire, vouloir que plusieurs pions puissent être sur une même case (Berlekamp, Conway et Guy parlent de synonim), et même imposer comme condition de sortie d’une case, que celle-ci soit suffisamment peuplée : On obtient alors un réseau de Petri qui n’était, jusqu’ici, pas considéré comme un jeu (mais il n’est pas déterministe).


Jeux de marelle

Un exemple de jeu combinatoire relativement simple est celui dit « du fer à cheval » :

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fer à cheval
Jeu décrit par Édouard Lucas

Et un jeu similaire, recommandé par Édouard Lucas (pour les enfants) parce que plus complexe donc plus intéressant ; là aussi il s’agit d’un plateau de jeu à manipuler à deux, en ligne :

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Le jeu suivant n’était pas connu d’Édouard Lucas puisqu’il a été inventé en 2016 (le jeu, pas Édouard Lucas) ; sa créatrice étant âgée de 6 ans, a donc dessiné un graphe à 6 ans, ce qui tend à montrer qu’on peut percevoir les lignes à cet âge. Le jeu est trop récent pour qu’on en connaisse une stratégie gagnante :

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jeu péï
jeu à deux joueurs, chacun ayant 3 pions

Pour jouer, cliquer sur l’image ci-dessus ; on joue à deux joueurs sur une seule tablette, chacun son tour. Un plateau de jeu plastifié sera préparé pour la fête de la science 2016.


Pour jouer un peu, voici une version html5 du célèbre jeu de Mastermind, dans une version spéciale pour daltoniens :


Documents joints

Nim sur triangle
Nim sur triangle
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HTML - 5 ko

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samedi 18 mars 2017
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Cgsuite, un logiciel pour construire le nombre avec des jeux combinatoires

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Le jeu des interrupteurs de Berlekamp

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Approche ludique de la numération binaire

Compte-rendu du séminaire IREM du 4 mars 2015 : Les personnages d’Emil Post et Hao Wang ont été présentés, mais surtout des jeux basés sur la numération binaire.

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Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 8 mars 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 12 avril 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mardi 13 juin 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6

Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

dimanche 1er septembre 2013

Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

L’algorithmique à l’IREM de Lille

vendredi 26 juin 2009

Le groupe AMECMI de l’IREM de Lille vient de mettre en ligne des ressources importantes au service des professeurs de Seconde :

- Algorithmique et programmation (Emmanuel Ostenne)
- Bibliographie amoureuse de l’algorithmique (Alain Juhel)

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samedi 18 mars 2017

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