objets géométriques récursifs

I/ Le rectangle d'Or

On définit ainsi un rectangle d'Or : C'est un carré (en bleu) collé à un rectangle d'Or (en rouge).

Comme l'expression rectangle d'Or intervient dans la définition du rectangle d'Or, cette définition est récursive.

II/ La courbe de Von Koch

En 1904, Helge von Koch a présenté un article titré Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire, et comportant la figure suivante :

La construction donnée par von Koch était itérative, mais la structure récursive se voit bien à l'aide du coloriage ci-dessus. On peut définir la courbe ainsi : une courbe de von Koch est composée de 4 courbes de von Koch, mises bout à bout et tournées l'une par rapport à l'autre d'un angle de 60° vers la gauche ou 120° vers la droite.

III/ Fractales de Sierpiński

1) Le triangle de Sierpiński

En 1915, dans les comptes-rendus de l'Académie des Sciences, Wacław_Sierpiński a publié un article titré Sur une courbe dont tout point est un point de ramification, où il décrit et dessine la courbe suivante :

La construction de Sierpiński était itérative, mais le coloriage ci-dessus permet de voir la structure récursive de cet objet : un triangle de Sierpiński s'obtient en collant bout à bout 3 triangles de Sierpiński (rouge, vert et bleu ci-dessus).

2) Le tapis de Sierpiński

En 1916, toujours dans les comptes-rendus de l'Académie des Sciences, Wacław Sierpiński a publié un nouvel article, titré Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée. Sierpiński construit « par récurrence » la courbe suivante (laissée en blanc, après avoir enlevé les carrés coloriés) :