Les fonctions de Python

abord de la pensée algorithmique sur un exemple
mercredi 20 mars 2019
par  Alain BUSSER

Le problème que l’on se propose d’étudier ici est relativement simple : Calculer la somme des entiers de moins de 3 chiffres 1+2+3+...+99

Et on le fera en Python version 3 qui est le langage choisi au programme.

Première méthode : Avec une calculatrice (par exemple la console Python)

On entre, au clavier, la séquence de touches suivantes : 0,+,1,+,2,+,3,+,4,+,5,+,6,+,7,+,8,+,9,+,1,0, etc

Vous je sais pas mais moi je n’ai pas eu la patience d’arriver à 99...

Il arrive fatalement un moment où on se dit que l’ordinateur (ou la calculatrice) doté d’une console Python, devrait pouvoir faire le boulot pénible à la place de l’humain, après tout c’est bien pour ça qu’on l’a inventé (l’ordinateur, pas l’humain, quoique...).

C’est là qu’on se dit que peut-être, avant de se précipiter sur la machine, on pourrait s’arrêter un instant pour réfléchir, en l’occurrence à la manière dont ladite machine peut nous aider. Et c’est là qu’apparaît une première composante de la pensée algorithmique : Se mettre à la place de la machine, voir ce qu’elle peut faire et penser comme elle, autant que faire se peut.

Deuxième méthode : Un algorithme (de programmation impérative séquentielle)

On propose d’utiliser deux variables :

  • La variable contenant les nombres entiers à additionner, que l’on propose d’appeler entier ;
  • Une autre variable, destinée à contenir, in fine, le total à calculer, et que l’on propose donc d’appeler total

Voici alors le script obtenu (clic droit pour ouvrir dans un autre onglet du navigateur).

L’idée de base est d’initialiser la variable total à 0 puis d’y ajouter, au fur et à mesure, les nombres à additionner. Ce qui, en Python, donne

  1. total = 0
  2. for entier in range(0,100):
  3.         total = total + entier
  4. print(total)

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Ah oui c’est vrai, l’usage « normal » de Python sur une calculatrice, c’est la console. Dans ce cas on a un peu plus simple :

  1. total = 0
  2. for entier in range(100):       total = total + entier
  3. total

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Ce script répond à la question mais il apparaît deux problèmes :

  1. La plupart des élèves, s’ils savent programmer l’algorithme, ne savent pas l’inventer, ni même, souvent, le retrouver de mémoire [1] ;
  2. Il est peut-être exagéré de qualifier d’algorithme une méthode ne permettant que de résoudre un problème bien particulier et non toute une classe de problèmes.

Il apparaît donc le besoin de généraliser comme le suggère J. Wing. Avec un bénéfice inattendu :

Troisième méthode : Avec une fonction

À quel moment exactement a-t-on utilisé le fait qu’il y a 100 nombres à moins de 3 chiffres (de 0 à 99) ? Jamais. On peut donc directement modifier le programme précédent pour obtenir des sommes similaires, mais aussi le dire, ou plutôt l’écrire, en Python, sous la forme de définition d’une fonction. Dans un module on écrirait

  1. def S(n):
  2.         total = 0
  3.         for entier in range(n+1):
  4.                 total = total + entier
  5.         return total

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et on n’aurait plus qu’à écrire, dans la console,

S(99)

pour avoir la réponse à la question.

Avec l’avantage qu’on n’a plus résolu un problème particulier (une « instance » du problème) mais toute une classe de problèmes (une infinité dénombrable, pour être précis). Cela résout la seconde difficulté évoquée ci-dessus, mais pas la première : Pourquoi tant d’élèves de 2nde éprouvent-ils du mal à inventer cet algorithme de sommation ?

Quatrième méthode : Avec une fonction récursive

Peut-être parce que la méthode de sommation en question est basée sur une récursivité latente ? En effet, la somme des 99 premiers entiers est égale à 99 plus la somme des 98 premiers entiers, laquelle est égale à 98 plus la somme des 97 premiers entiers, etc.

Autrement dit, si dans le programme ci-dessus on a avait rédigé la fonction S de la manière qui suit :

  1. def S(n):
  2.         if n==0:
  3.                 return 0
  4.         else:
  5.                 return n+S(n-1)

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on aurait eu le même affichage dans la console, avec

S(99)

Ceci montre

  • qu’il peut y avoir plusieurs manières différentes de calculer la même fonction (ou plusieurs algorithmes différents résolvant un même problème)
  • que la récursivité se cache parfois là où on ne l’attend pas
  • l’intérêt qu’il y a à généraliser (on est passé de 99 dans la description de l’algorithme récursif, à n dans sa programmation en Python)

Efficacité des algorithmes

En dehors de la difficulté conceptuelle accrue (la récursivité n’est pas au programme de 2nde), est-ce que les deux versions de la fonction S reviennent vraiment au même ?

Le script suivant permet de mesurer le temps de calcul de S(99) :

  1. t = time()
  2. S(99)
  3. t = time() - t
  4. print(t)

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Il fournit typiquement les résultats suivants :

Algorithme « itératif » Algorithme récursif Avec sum
25 µs 65 µs 25 µs

La leçon à tirer de cela est qu’il est plus efficace, en général, de programmer itératif (impératif) que récursif. La récursivité étant avantageuse essentiellement lorsqu’on veut verbaliser l’algorithme, pas forcément lorsqu’on veut le programmer.

Cependant, le compilateur du langage Haskell est conçu pour optimiser les algorithmes récursifs et il est à la fois plus facile de programmer récursif qu’itératif (en Haskell) et efficace de le faire (toujours en Haskell).

Ce saut paradigmatique amène à aller encore plus loin dans la pensée algorithmique, en se disant que puisque le langage (Python ou Haskell) peut faire tout le travail (exécuter au lieu de dérécursifier) à notre place, pourquoi pas utiliser toutes ses possibilités, y compris celles qu’on n’avait même pas prévues (résoudre un problème de sommation par exemple) ?

Cinquième méthode : Demander à Python de faire l’addition

La plupart des langages modernes possèdent une fonction somme ou sum qui fait le travail à notre place. Elle s’applique à une liste de nombres.

Construction d’une liste (ou pas)

Le tout est de construire la liste [0,1,2,...,99]. Cela peut se faire

  • par compréhension [k for k in range(100)]
  • par conversion depuis un itérateur list(range(100))
  • pas du tout, puisque la fonction sum de Python peut s’appliquer directement à l’itérateur range(100)

Une fois cette liste (ou cet itérateur) obtenue, il suffit de lui appliquer la fonction sum qui donne la somme de ses éléments.

La fonction S devient alors

  1. def S(n):
  2.     return sum(range(n+1))

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Dans le bloc sur l’efficacité des algorithmes, on voit que cette fonction est à peu près aussi rapide que la version itérative : Comme avec Haskell, on peut avoir confiance en le fait que Python fait les choses au mieux et lui déléguer les basses besognes (variables, boucles, ...).

On en fait quoi ?

Pour circonvenir (en partie) la difficulté que pose cette histoire d’addition avec variables, on peut

  • utiliser Sofus qui sait comment additionner entier à total et libère de la difficulté à se demander comment on gère les variables
  • donner un script incomplet (comme on le fait souvent au bac) à compléter ; le script donnant déjà la sommation
  • donner un script de calcul de la somme, mais comportant une (ou plusieurs) erreur, à corriger...

Mais si on se permet d’aller directement vers la programmation fonctionnelle, l’heure qui n’est plus passée à faire recréer l’algorithme de sommation, peut être consacrée à se demander non plus comment on fait, mais pourquoi. Avec cette application en classe inversée :

  1. def moyenne(tableau):
  2.     return sum(tableau)/len(tableau)

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la question de voir comment les fonctions sum et len sont programmées, pouvant être réservée aux meilleurs élèves, ou à plus tard.

Sixième méthode : Sans Python

On conjecture que S(n)=n(n+1)/2 et on calcule directement 99×100/2=4950. Reste à voir comment on peut prouver le résultat utilisé (récurrence, dessin, ...)


[1Ce qui est gênant vu la tâche d’additionner beaucoup de nombres est récurrente, avec par exemple le calcul d’intégrales par la méthode des rectangles, ou déjà en 2nde, le calcul de la moyenne de beaucoup de nombres : Le numérateur de cette moyenne est la somme des nombres ; et en plus le dénominateur se calcule de façon analogue en additionnant des « 1 »


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