Droite des douze points

Détermination géométrique du centre du cercle d’Euler
mardi 16 juin 2009
par  Michel SAAD

Au cours de ses années d’enseignement en mathématiques et en sciences physiques au lycée Lislet-Geoffroy, Michel Saad, actuellement retraité, a mis en évidence des propriétés annexes faisant suite à la droite et au cercle d’Euler. Il les soumet ici à la curiosité des géomètres.

Les figures dynamiques et les démonstrations peuvent être consultées dans le numéro 16 de MathemaTICE (septembre 2009).

Données

Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle C de centre O. On désigne par :

- H son orthocentre ;
- Ω, milieu de [OH], le centre du cercle d’Euler C’ du triangle ;
- AA1, BB1, CC1 : les trois hauteurs ;
- A’’, B’’, C’’ : les milieux des segments [AH], [BH], [CH] ;
- A2, B2, C2 : les intersections des trois hauteurs avec le cercle C ;
- P, Q, R : les intersections des droites (BC, B1C1), (CA, C1A1), (AB, A1B1) ;
- Pʹ, Qʹ, Rʹ : les intersections de (B’’C’’, B1C1), (C’’A’’, C1A1), (A’’B’’, A1B1) ;
- P1, Q1, R1 : les intersections de (B’’C1, C’’B1), (A’’C1, C’’A1), (B’’A1, A’’B1) ;
- P2, Q2, R2 : les intersections de (BC2, CB2), (CA2, AC2), (AB2, BA2) ;
- Pʹ2, Qʹ2, Rʹ2 : les intersections de (BC, B2C2), (CA, C2A2), (AB, A2B2) ;
- D, E, F : les intersections de (B’’C’’, B2C2), (C’’A’’, C2A2), (A’’B’’, A2B2) ;
- I, J, K : les intersections de (B1C’’, BC2), (C1A’’, CA2), (A1B’’, AB2) ;
- Iʹ, Jʹ, Kʹ : les intersections de (C1B’’, CB2), (A1C’’, AC2), (B1A’’, BA2).

1. Droite des douze points

a. Les points P, Q, R appartiennent à une droite Δ, axe radical de deux cercles C et C’.

b. Les 12 points : D, E, F, I, J, K, Iʹ, Jʹ, Kʹ, P, Q, R appartiennent à la même droite Δ appelée « Droite des douze points ».

c. Les points : Pʹ, Qʹ, Rʹ, P1, Q1, R1 appartiennent à une droite D1.

d. Les points P2, Q2, R2, Pʹ2, Qʹ2, Rʹ2 appartiennent à une droite D2.

e. Les droites D1, D2 et Δ sont parallèles, perpendiculaires à la droite d’Euler.

f. La droite Δ est équidistante de D1 et de D2.

g. D2 est l’image de D1 dans l’homothétie de centre H, de rapport 2.

2. Détermination géométrique du centre du cercle d’Euler

h. Les droites (AP1), (BQ1), (CR1) sont concourantes en Ω, centre du cercle d’Euler C’ du triangle ABC.

Démonstration

J’ai fait la démonstration par une méthode analytique basée sur les équations des cercles et des droites. Il est possible d’en trouver une autre moins lourde utilisant les nombres complexes, le barycentre ou même une transformation dans le plan comme l’inversion.

Figures

En 1990, date de mes trouvailles, j’avais tracé les figures à la main. Actuellement, avec le logiciel GeoGebra, il est possible de vérifier ces propriétés en quelques minutes.

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Commentaires

Logo de Jean-Claude Gontard
mardi 16 juin 2009 à 18h36 - par  Jean-Claude Gontard

Jean-Claude Gontard, Marseille
jc.gontard@wanadoo.fr
Pourriez vous me laisser votre adresse Internet.Je vous répondrai par message et pièce-jointe.
Je viens tout juste de lire votre article « droite des 12 points », et n’ai pâs eu le temps d’analyse complète.Mais il m’intéresse beaucoup.
A+