L’indice d’échec : un pas vers l’auto-similarité

dimanche 29 mars 2020
par  André SEGUIN

Contenu

L’objet initial de ce texte est de compter le nombre des puissances de 3 inférieures à un nombre d donné et de le comparer à celui des puissances de 2 également inférieures à d. On utilise dans un premier temps le logiciel Xcas pour obtenir des résultats. Une suite W émerge, en utilisant les règles relatives au thème « opérations et relation d’ordre » on montre que cette suite est binaire et on met en évidence une pseudo période qui semble indiquer que W est périodique. Dans un deuxième temps, à l’aide des travaux des mathématiciens des XVIe et XVIIe siècles on réfute ce résultat, en produisant un nombre irrationnel, la notion d’indice d’échec en découle. Cet indice semble être relié aux dénominateurs $q_n$ des réduites du nombre irrationnel trouvé par l’égalité (E) $i(q_n)=q_{n+1}−2$.

On généralise l’étude précédente aux irrationnels plus grand que 1. $W_x$ est la suite binaire attachée à la répartition des Nmultiples de x dans les intervalles [1, 2], [2, 3], ... [kk+1], ... Prouver l’égalité (E) pour les suites $W_x$ n’est pas simple. On définit la fonction indice d’échec d’une suite $W_x$ et par un algorithme censé lui correspondre on recrée artificiellement cette fonction.

Une autre famille $(U_x)$ de suites binaires définie par concaténation semble s’identifier à la famille $(W_x)$. Pour cette nouvelle famille l’égalité $i(q_n)=q_{n+1}−2$ est vérifiée. $W_x=U_x$ : telle est la question ? On termine avec le morphisme échange qui agit sur la famille $(U_x)$ et ressuscite le théorème de Beatty.

Sommaire


- Introduction
- La suite binaire W, en quête d’une période
- La pseudo période 1054 échoue : l’indice d’échec
- Le développement en fractions continues entre en jeu
- L’égalité $i(q_n)=q_{n+1}−2$
- Généralisation aux irrationnels plus grand que 1
- L’égalité est prouvée pour n = 1 et n = 2
- La fonction indice d’échec, observations
- Algorithme et fonction $F_x$
- Les suites $U_x$
- La suite dorée et les suites $U_x$
- Conjecture $U_x=W_x$
- Le morphisme échange et le théorème de Beatty
- Annexe


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André Seguin

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