Tests sérologiques Anti-SARS-CoV-2 et mathématiques du lycéen

Exemples d’activités mathématiques pour le lycée général et technologique
vendredi 15 mai 2020
par  Alain BUSSER , Jean-Luc SONNTAG

Croissance exponentielle, coefficient de reproduction R0, graphiques à échelle logarithmique, etc. Dans le contexte de la pandémie Covid-19, les mathématiques du lycéen s’invitent dans les médias. Une bonne culture mathématique est parfois indispensable à la compréhension de cette actualité.

Tout particulièrement, le sujet des tests sérologiques Anti-SARS-CoV-2 offre aux professeurs de mathématiques de nombreuses occasions de donner du sens aux activités scolaires : décrypter une actualité parfois complexe et traitée un peu trop superficiellement par les médias.

Contexte, définitions

1/ Tests sérologiques : (Extraits choisis d’un rapport de la Haute Autorité de Santé du 02/05/20)

Après avoir été infectés par un virus, la plupart des individus développent une réponse immunitaire par la production d’anticorps dirigés contre ce virus. Des tests sérologiques permettent de déterminer si une personne a produit des anticorps. Ces tests ont une place dans la surveillance épidémiologique et dans l’identification des personnes étant ou ayant été contact avec ce virus. Les données recueillies permettent d’alimenter des modèles mathématiques dont un des objectifs est d’anticiper la trajectoire de l’épidémie.

Les tests sérologiques sont des tests d’hypothèses.

2/ Tests d’hypothèses - Vocabulaire, définitions
En statistiques, un test est une démarche consistant à valider ou à rejeter une hypothèse.

On s’intéresse alors à différents indicateurs de ce test :

  • La sensibilité (ou sélectivité) : c’est la probabilité que le test donne un résultat positif lorsque l’hypothèse est vérifiée.
  • La spécificité : c’est la probabilité que le test donne un résultat négatif lorsque l’hypothèse n’est pas vérifiée.
  • La valeur prédictive positive (VPP) : c’est la probabilité que l’hypothèse soit vérifiée lorsque le test est positif.
  • La valeur prédictive négative (VPN) : c’est la probabilité que l’hypothèse ne soit pas vérifiée lorsque le test est négatif.

Prévalence : c’est la proportion d’hypothèses vraies dans la population testée.
En épidémiologie, on appelle prévalence d’une maladie la proportion de personnes atteintes par cette maladie dans une population donnée. Dans cet article, la prévalence désigne la proportion de personnes infectées par le SARS-CoV-2 dans la population testée.

3/ Valeurs seuils prescrites par la Haute Autorité de Santé en France :

Concernant les tests sérologiques de dépistages d’une infection par le virus SARS-CoV-2, les valeurs seuils minimales de sensibilité et de spécificité des tests sérologiques, évoqués dans le deuxième paragraphe ci-dessus, ont été fixées par la Haute Autorité de Santé en France à 90 % pour la sensibilité et 98 % pour la spécificité (Source : (.pdf 252 Ko) Cahier des charges définissant les modalités d’évaluation des performances des tests sérologiques détectant les anticorps dirigés contre le SARS-CoV-2).

Test d’hypothèse : sensibilité, spécificité, valeurs prédictives, faux positifs ou négatifs

Ces deux arbres illustrent les définitions du paragraphe précédent :

Exemple pratique

Hypothèse : « cette personne est grippée » (Vrai ou faux)

Test : on cherche à savoir si la personne est grippée, ou pas.

Prévalence : c’est la proportion de personnes grippées dans la population.

Sensibilité du test : on teste une personnes grippée et le test est positif. Le test fonctionne. La sensibilité est la proportion de personnes avec un test positif parmi des personnes grippées.

Spécificité du test :on teste une personne non grippée et le test est négatif. Le test fonctionne. La spécificité est la proportion de personnes avec un test négatif parmi des personnes non grippées.

Valeur prédictive positive (VPP) : le test est positif et la personne est grippée. Le test fonctionne. La VPP est la proportion de personnes grippées parmi celles qui ont un test positif.

Valeur prédictive négative (VPN) : le test est négatif et la personne est n’est pas grippée. Le test fonctionne. La VPN est la proportion de personnes non grippées parmi celles qui ont un test négatif.

Faux test positif : le résultat du test est positif. Pourtant la personne n’est pas grippée ! Le test échoue.

Faux test négatif : le résultat du test est négatif. Pourtant la personne est grippée ! Le test échoue.

Pour aller plus loin : un article CultureMath

Pour approfondir le sujet, on pourra lire l’article publié sur le site CultureMath de l’ENS où David Pouvreau, professeur agrégé de mathématiques et docteur en histoire des sciences, étudie le lien existant entre prévalence et valeurs prédictives :

  • Dans quel intervalle doit se trouver la prévalence pour que les VPP et VPN se trouvent simultanément « acceptables » ?
  • Comment cet intervalle varie-t-il selon les sensibilité et spécificité du test ?

Texte interactif : Simulateur de Valeurs Prédictives d’un test

Voici un document interactif, utilisant la technologie tangle.js, permettant aux lecteurs de mener leurs propres expériences : on peut modifier les sensibilité, sélectivité, prévalence et ainsi observer l’effet de ces variables sur les Valeur Prédictive Positive et Valeur Prédictive Négative.

La Haute Autorité de Santé fixe les seuils suivants : minimum 90% de sensibilité et minimum 98% de sélectivité.

Simulateur de test sérologique

Fixons la sensibilité d'un test de dépistage du SARS-CoV-2 à %. Ceci signifie que la probabilité conditionnelle d'être dépisté sachant qu'on a été contagié est .

Fixons la spécificité à %. Ceci signifie que la probabilité conditionnelle d'être séronégatif sachant qu'on n'a pas été contagié est

Dans le cas d'une prévalence de % (ce qui veut dire qu'en choisissant un français au hasard, on a une probabilité qu'il ait été contagié par le SARS-CoV-2), un raisonnement bayésien donne :


  1. La probabilité qu'une personne choisie au hasard ne soit pas infectée est 1- = .
  2. La probabilité qu'une personne soit testée positive sachant qu'elle n'a pas été infectée est 1- = .
  3. Donc la probabilité que la personne n'ait pas été infectée et soit néanmoins testée positive est × = .
  4. De même (toujours selon Bayes), la probabilité que la personne ait été infectée et soit testée positive est × = .
  5. Donc (formule des probablités totales) la probabilité que le test soit positif est + =
  6. Donc la probabilité que le test soit négatif est 1- = .

Alors

  • La Valeur Prédictive Positive du test (probabilité que la personne ait été infectée sachant que le test est positif) est (d'après Bayes) /.
  • La probabilité qu'une personne ne soit pas infectée et que le test soit négatif étant, toujours selon ce cher Révérend Bayes, × = , la Valeur Prédictive Négative du test (probabilité que la personne n'ait jamais été infectée, sachant qu'elle est séronégative) est / .

Interprétation de la VPP :

Parmi les personnes testées positives, seules % ont réellement développé des anticorps

Mathématiques du lycée mobilisées par le sujet des tests sérologiques

  • Les sensibilité et spécificité d’un test sérologique sont des fréquences calculées à partir d’essais dont l’issue est binaire : réussite ou échec. Ces essais réalisés en nombre limité conduisent à déterminer les sensibilité et spécificité assorties d’un intervalle de confiance. Rappelons à cette occasion que le site de l’IREM de La Réunion propose depuis 2013 un calculateur d’intervalles de confiance en ligne : Pour calculer l’intervalle de confiance pour une proportion (celle des succès), on saisit l’effectif de l’échantillon, le nombre de succès dans l’échantillon, et le niveau de confiance (généralement 95%).
  • Un test sérologique est un test d’hypothèse qui conduit à des calculs de probabilités simples ou conditionnelles.
  • Les caractéristiques des tests sérologiques sont des variables qui, parfois, dépendent aussi du contexte dans lequel ils sont utilisés (Prévalence). En fixant certains paramètres, des fonctions à une ou plusieurs variables permettent d’étudier des corrélations.
  • Les valeurs prédictives positives et négatives (VPP et VPN) sont fonctions homographiques de la prévalence (proportion de personnes atteintes par une maladie dans une population).
  • La recherche de « seuils » peut conduire à la résolution d’équations, d’inéquations ou à l’interprétation de graphiques des variations de fonctions.

Exercices de mathématiques sur la fiabilité de tests d’hypothèses

De nombreuses activités abordant ces sujets peuvent être proposées dans le cadre de la classe de mathématiques de lycée général et technologique.

Un document à télécharger propose des exemples d’applications de notions figurant aux programmes de mathématiques des classes de premières et terminales, générale ou technologiques. Le fil conducteur est le test d’hypothèse.

Sont mobilisés dans ces exercices :

  • Calculs de probabilités simples et conditionnelles, arbre de probabilité
  • Proportions, fréquences, tri croisé
  • Fonctions affines, homographiques
  • Calcul littéral
  • Inéquation du premier degré de la forme (ax+b) / (cx+d) ≤ Constante
  • Exploiter un graphique, formuler des conjectures, interprétations...

(Exercices guidés, avec prise d’initiatives...)

Enseignement à distance : Exercices + QCM Pronote/Moodle associés

Télécharger un dossier compressé de 320 Ko comprenant trois énoncés d’exercices et activités en .pdf accompagnés de trois fichiers .xml de QCM associés, à importer sur Pronote ou Moodle. Ces exercices sont extraits de la série mentionnée dans le paragraphe précédent.

Dans le cadre d’un enseignement à distance, il suffit de communiquer un énoncé aux élèves par la messagerie Pronote (ou pédagogique de l’ENT) puis de programmer un QCM sur Pronote. Une fois importé, le QCM est modifiable et son paramétrage est laissé à l’appréciation de chaque professeur (durée, avec ou sans corrigé...).


Documents joints

Exercices de mathématiques sur la fiabilité (...)
Ce document propose, dans des situations concrètes, des exemples d’applications de notions (...)
Enoncés d'exercices + QCM Probote/Moodle à (...)
Trois énoncés d’exercices et activités en .pdf accompagnés des trois fichiers .xml de QCM associés, (...)

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