Recherche : « Rectangle plié trois fois de suite »

Activité de recherche ouverte, laissant une large part à l’activité et à l’initiative de l’élève
dimanche 17 mai 2020
par  Jean-Luc SONNTAG

Cet article présente une activité de recherche, ouverte à un large public scolaire (école, collège, lycée), avec une mise en action rapide et des manipulations. Les possibilités de prolongements sont variées en nature (numériques, géométriques...) et en complexité (école, collège, lycée).

Téléchargement des fiches élèves et d’un QCM compatible Pronote ou Moodle.

Consignes, matériel remis aux chercheurs, déroulement

En début de séance, chaque élève reçoit :

  • une feuille de papier rectangulaire de 20cm de long et 12cm de large
  • une fiche avec les consignes suivantes

Pendant la séance, des « coups de pouces », « recadrages » et « invitations à explorer un point » sont parfois nécessaires pour cause de :

  • non respect des consignes de pliage,
  • panne d’idée de recherche,
  • épuisement rapide des premières conjectures par les plus réactifs (« J’ai fini ! »).

En quoi cette activité peut-elle être intéressante ?

1/ Elle s’adresse à tous les publics (école, collège, lycée), les prérequis sont peu nombreux.

2/ Les prolongements possibles sont variés, en nature (numériques, géométriques...) et en complexité (école, collège, lycée) – Voir un paragraphe dédié aux prolongements possibles.

3/ La mise en action est immédiate : consigne assez courte et simple.

4/ Les élèves manipulent dès réception du matériel.

5/ Des confrontations vont rapidement surgir et, avec elles, des tentatives d’argumentation spontanées pour convaincre ses pairs :

  • « Regarde mon rectangle est différent du tiens ! »,
  • « Est-ce qu’il y a encore d’autres rectangles ? »

6/ Certains vont mesurer les rectangles successifs, et obtiendront des mesures approximatives. D’autres vont calculer les mesures. Suivent alors des débats sur l’efficacité des méthodes : mesurer ou calculer ?

7/ Le maintien en activité de tous est facilité par des prolongements et approfondissements faciles à suggérer à tout élève plus avancé et très réactif.

  • « Que se passe-t-il si on plie une quatrième fois ? »
  • « Que peut-on dire des aires des rectangles ? »
  • « Que peut-on dire des périmètres des rectangles ? »
  • « Et si R0 mesurait 18cm de long et 15cm de large ? »

8/ Après une recherche individuelle, des groupes peuvent être formés pour rédiger une synthèse ou prolonger /approfondir la recherche.

Ce qui va probablement se passer

1/ A propos de la consigne de pliage :

La plupart des élèves va plier le rectangle conformément à la consigne, selon un axe de symétrie du rectangle, soit parallèlement à la largeur, soit parallèlement à la longueur. Mais certains expérimenteront des pliages non conformes.

Par exemple :

  • Il n’est pas exclu qu’un élève propose de plier le rectangle en deux parties égales par une diagonale. Ce qui donne deux triangles rectangles identiques. Dans ce cas, on confronte la proposition à la consigne de pliage, qui exclut cette issue.
  • Un élève pourra également proposer un pliage en deux trapèzes superposables. Là encore, on confronte la proposition à la consigne de pliage, qui exclut cette issue.
    Ceci pourra toutefois faire ultérieurement l’objet d’une introduction à la symétrie centrale : en effet, les deux trapèzes sont symétriques par rapport au centre du rectangle.

2/ Réponses, commentaires, conjectures probables ou attendues

L’expérience a montré que la richesse des conjectures est très variable. Voici les conjectures généralement proposées, plus ou moins spontanément, avec ou sans « coups de pouce » :

  • On peut plier R0 de deux façons différentes / Il y a deux possibilités pour R1
  • On obtient des rectangles R3 différents
  • Il y a quatre R3 différents possibles : 20/1,5 ; 10/3 ; 5/6 ; 2,5/12
  • Quand on déplie la feuille, le rectangle R0 est partagé en 8 rectangles égaux
  • R3 recouvre 1/8 de la surface de R0
  • Tous les rectangles R3 ont la même aire : 30cm2 (240 → 120 → 60 → 30)
  • Les R3 ont la même aire, mais pas le même périmètre
  • Les rectangles R3 obtenus ont différentes formes (format)
  • Il y a :
    • 2 épaisseurs de papier après 1 pliage
    • 4 épaisseurs de papier après 2 pliages
    • 8 épaisseurs de papier après 3 pliages.
  • On peut plier une quatrième fois, puis 5 fois, etc.

Deuxième séance : un « arbre » pour chercher...

Au cours d’une deuxième séance, on peut évoquer le recours à un arbre qui permet d’examiner tous les cas possibles.

Un document peut être distribué pour déboucher sur un bilan exhaustif.

Puis éventuellement étudier le cas général avec des expressions littérales obtenue pour un rectangle R0 de longueur a et de largeur b.

Prolongements, approfondissements, introduction de nouvelles notions

Les prolongements possibles sont très variés, en nature (numériques, géométriques...) et en complexité (école, collège, lycée).

Format – Proportion : Les rectangles obtenus après trois pliages ont des formats différents.
Prolongements possibles, à explorer :

  • Définition du format d’un rectangle : Rapport longueur sur largeur, visualisation d’une proportion
  • Formats normalisés ou usuels : A4, A3,16/9, 4/3, formats d’images cinéma
  • Chaque format est caractérisé par l’angle formé par la diagonale et la longueur (trigonométrie)

Dans un repère gradué :

  • Dans un repère, placer un point pour chaque rectangle R0, R1, R2, R3
  • Visualiser chacun des quatre pliages différents par un chemin, un déplacement. À chaque déplacement, on divise une des deux coordonnées par 2.
  • Les points correspondant à R3 sont sur une hyperbole

Généralisation : Suite des rectangles obtenus par pliages successifs

Un rectangle R0 a une longueur a et une largeur b.
On plie R0 en deux parties égales pour obtenir un rectangle plus petit appelé R1.
On plie R1 en deux parties égales pour obtenir un rectangle plus petit appelé R2.
...
On plie Rn en deux parties égales pour obtenir un rectangle plus petit appelé Rn+1.
etc.

Après n pliages :

  • Combien de rectangles différents obtient-on ?
  • Quelle est l’aire du rectangle Rn ?

Enseignement à distance - QCM Pronote / Moodle

L’activité peut être proposée dans le cadre d’un enseignement à distance :

  • Envoi des consignes par messagerie.
  • Echanges et interactions sous forme de discussion du module « Communiquer » de Pronote.
  • QCM sur Pronote (ou Moodle) en fin de première séance pour guider vers un ensemble de conjectures.

Téléchargement des fiches élèves et d’un QCM Pronote / Moodle

Télécharger un dossier compacté qui contient les fiches élèves ainsi qu’un fichier .xml de QCM à importer sous Pronote (ou Moodle).


Documents joints

Dossier compressé de 315 Ko avec des fiches (...)
Dossier compressé de 315 Ko avec quatre fiches élèves optimisées pour la reprographie et un QCM (...)

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