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samedi 19 novembre 2005
par  Dominique TOURNÈS

Arithmétique en Terminale S

Cet article rassemble divers documents utiles pour l’enseignement de l’arithmétique en Terminale S : cours, activités, problèmes, ouvertures historiques et culturelles.

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dimanche 31 octobre 2010 à 18h18 - par  Marc Jambon

Ce commentaire concerne le cours d’arithmétique Terminale S de Jean Claude Lise, plus précisément les axiomes dits fondamentaux.

Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.

A noter au passage que le deuxième énoncé est une conséquence facile du premier.

Ces axiomes sont utilisés à trois reprises dans le dit cours :
premier axiome en vue du théorème de la division euclidienne (p.2) ; deuxième axiome dans la définition (qui est en fait un théorème et définition) du PGCD (p.6). Dans ces deux cas, l’appartenance à la partie de N dont il est question est testable, c’est ainsi qu’elle conduit à un algorithme : algorithme de la division euclidienne, algorithme de recherche du PGCD conforme à la définition de plus grand commun diviseur à ne pas confondre avec l’algorithme d’Euclide qui fournit une autre méthode.

On rencontre la troisième utilisation dans le Théorème précédent le Théorème de Bézout (p.7). La partie E dont il est queston est définie comme le sous-ensemble des éléments y de N*pour lesquels il existe u et v éléments de Z tels que a u + b v = y.
Le « Il existe » dans Z ensemble de cardinal infini a pour effet de ne pas permettre de tester l’appartenance à ce sous-ensemble. Le résultat obtenu à ce stade de l’exposé est purement théorique, il permet toutefois de démontrer le théorème de Gauss dont la principale application est l’unicité dans la décomposition en produit de facteurs premiers, (on se demande pourquoi s’être donné tant de mal pour en admettre l’unicité conformément aux instructions du programme !). Ce même résultat ne permet pas de résoudre les équations diophantiennes (p.9), la deuxième méthode remontant l’algorithme d’Euclide (p.7) présentée sous forme d’exemple immédiatement avant l’identité de Bézout est indépendante de la démonstration précédente, elle pourrait être traitée dans le cas général, elle conduit à un algorithme facile à traiter sur un exemple mais moins évident à programmer.

En conclusion, les axiomes dits fondamentaux ne sont nullement évidents, leur démonstration à partir des axiomes de Péano s’appuierait sur le tiers-exclu. Il sont algorithmiquement acceptables lorsque le « non-vide » est démontré directement (aucun problème ici) et l’appartenance à la partie de N est testable.

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