Non ! L’arbre de Brocot n’est pas un arbre mort

lundi 22 février 2021
par  André SEGUIN

L’arbre de Brocot, élaboré à la fin du XIXe siècle, a capté l’attention de nombreux mathématiciens. Ses nœuds ont été relié à des objets mathématiques très différents : nombres rationnels positifs, intervalles de nombres réels, matrices, homographies. Ses branches ont été représentées par des séquences binaires sur l’alphabet {gauche, droite}, un lien a été établi avec le développement en fractions continues d’un nombre réel, etc.

Dans ce texte nous abordons l’arbre sous un angle nouveau. À un nœud nous associons une séquence finie de zéros et de uns qui, pour un réel appartenant à l’intervalle associé au nœud, traduit la répartition de ses premiers Nmultiples dans les intervalles unitaires ]1, 2[, ]2, 3[, ]3, 4[ ... Cette séquence ne dépend pas du nombre réel choisi dans l’intervalle ouvert associé au nœud. On aimerait pouvoir construire cette séquence à la main comme cela se fait pour le triangle de Pascal grâce à la relation $C_{n+1}^p = C_n^p +Cn^{p−1}$. C’est possible à l’aide de quelques formules en lien avec la concaténation.

Pour établir ces formules nous avons recours à une propriété cachée que possède un intervalle associé à un nœud. Cette propriété a été abordé dans l’épreuve du Capes externe 2019 : « si un rationnel $r=\dfrac{p}{q}$ écrit sous sa forme fractionnaire irréductible appartient à l’intervalle $\left] \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d} \right[$, alors $q \geq b+d$. L’égalité $q=b+d$ a lieu si et seulement si $r=\dfrac{a+c}{b+d}$. »

L’article se termine par la démonstration d’une propriété en rapport avec le nombre d’or. Elle se généralise aux irrationnels et fait intervenir, comme pour le théorème de Lucas, la somme des coefficients du développement en fractions continues.

Pour alléger le texte, l’étude se limite aux nombres réels compris entre 1 et 2.

Sommaire

  • Introduction
  • Répartition des Nmultiples d’un nombre irrationne
  • Observation des suites $W_x$
  • Les premiers termes
  • L’arbre de Brocot
  • Les premiers termes par l’arbre de Brocot
  • Étude de l’allongement
  • Les schémas utiles
  • Descentes et nombres réels
  • Une propriété du nombre d’or qui se propage
  • Des formules tombées de l’arbre
  • Annexe

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