Le jeu de Hex

mardi 19 octobre 2021
par  Alain BUSSER


Les bleus essayent de créer un chemin bleu joignant les bords bleus ; les rouges essayent de créer un chemin rouge joignant les bords rouges. Bien que la partie ne soit pas encore terminée, on sait déjà qui va gagner :

Histoire du jeu

En 1942, Piet Hein (physicien) (inventeur du cube soma) a décrit à un colloque organisé par Niels Bohr un jeu mathématique qu’il considérait comme exemplaire du genre (pas d’intervention du hasard, règle du jeu courte, durée d’une partie pas trop longue...). Hein était danois et comme tous les habitants de Copenhague, passait beaucoup de temps dans les couloirs du métro à cause des bombardements. Les habitants lisaient alors la revue Politiken où se trouvaient des jeux pour occuper les danois durant les bombardements. Le 26 décembre 1942, dans la revue Politiken, Hein a décrit le jeu connu aujourd’hui sous le nom de Hex mais alors appelé Polygon. Hein décrivait le plateau comme ayant toute dimension entre 5×5 et 11×11 mais le dessin du journal Politiken est un 11×11 :

Un des plus anciens problèmes de Hex a été publié dans le même journal fin 1942. Le prochain joueur gagne :

Qui est-il ? Comment gagne-t-il ?

En 1948, John Forbes Nash découvre, à Princeton, go (jeu). Il y invente une variante de Go où, en plus des lignes verticales et horizontales du goban [1], il imagine des diagonales dans chaque carré [2]. Le jeu est alors connu à Princeton sous le nom de « Nash ».

En 1951, Claude Shannon invente un jeu basé sur une compétition entre construction et destruction d’un graphe. En fait, comme couper une arête revient au même que créer une arête dans le graphe dual, le jeu de Shannon généralise Hex (dont le graphe est autodual). Au passage, Shannon crée un réseau électronique (page 5) permettant de jouer à Hex.

En 1952, les frères Parker commercialisent ce jeu, sous le nom de Hex. Puis (en partie sous l’impulsion de Martin Gardner en juillet 1967) le jeu est commercialisé au Danemark sous le nom de Con-Tac-Tix en 1968.

Le jeu dessiné par Nash :

Depuis, le jeu n’est plus guère commercialisé, mais on peut y jouer avec relativement peu de matériel, de surcroît instructif à créer.

Matériel nécessaire

Pour jouer à Hex, il faut une grille et des jetons. Pour les jetons, des tranches de bouchons de liège peintes en bleu et rouge conviennent (attention toutefois à ce que les élèves ne les mettent pas dans la bouche). De plus, comme après avoir posé un pion, on ne le bouge plus, Hex est de facto un jeu de coloriage. Les joueurs peuvent donc jouer avec des crayons de couleur ce qui présente l’avantage double, de faire travailler la psychomotricité par le coloriage et de permettre après coup d’analyser la partie, par exemple pour voir qui a gagné. Si on veut réutiliser le plateau de Hex, des pierres de go (jeu) font également l’affaire.

Voici des plateaux [3] au format pdf, à imprimer, pour jouer avec des jetons rouges et bleus ou en coloriant :

Exemple de partie

Voici un exemple de partie jouée entre un joueur de CE1 et son frère de petite section :

Les bleus (CE1) ayant déjà réussi un alignement allant du bleu au bleu ont déjà gagné :

Mais aucun des deux joueurs ne s’en est rendu compte, aussi entendent-ils continuer à jouer :

En petite section, jouer consiste essentiellement à placer les jetons (rouges ici) dans les cases. C’est plus facile qu’une boîte de formes mais c’est plat et bien placer le jeton au centre de la case est ludique.

Le réflexe des rouges était de créer un alignement de rouges parallèle à la ligne bleue, ce qui est perdant (une ligne rouge allant du bleu au bleu n’est pas gagnante). Après ça, les joueurs créent spontanément une diagonale à couleurs alternées, puis des diagonales de couleurs unies :

Ils continuent à jouer jusqu’à remplissage du plateau :

Et c’est le moment de poser la question : qui a gagné ? Cela prend du temps de trouver ! La partie elle-même a duré environ 5 minutes, auxquelles il faut ajouter ce temps. On peut même donner des exercices en distribuant des images similaires à celle ci-dessus et demander qui est le gagnant (par exemple en encerclant les hexagones donnant le chemin gagnant).

Qui a gagné ?

Pour le savoir, on fait parcourir (virtuellement) le plateau de jeu par un robot de type tortue qui part d’un bord puis,

  • s’il a une dalle rouge à sa gauche et une dalle bleue à sa droite, s’arrange pour toujours avoir une dalle rouge à sa gauche et une dalle bleue à sa droite,
  • s’il a une dalle bleue à sa gauche et une dalle rouge à sa droite, s’arrange pour toujours avoir une dalle bleue à sa gauche et une dalle rouge à sa droite.

De tels robots, sur l’exemple ci-dessus, laisseront ces traces vertes :

On voit que parmi ces tracés verts, un seul joint deux bords opposés : il sépare un chemin rouge et un chemin bleu joignant tous deux les deux bords bleus.

Cela montre que les bleus ont gagné. Mais ce n’est pas tout : comme un chemin vert joignant les deux bords rouges et un chemin vert joignant les deux bords bleus ne peuvent se croiser, ils ne peuvent exister tous les deux sur le même plateau. Ce qui signifie qu’à Hex, il n’y a pas de différence entre un jeu défensif et un jeu offensif : essayer d’empêcher l’adversaire de faire un chemin, revient à essayer de faire son propre chemin.

Et ce n’est pas tout : puisque les parties nulles n’existent pas en Hex, il y a une stratégie gagnante pour l’un des deux joueurs. Or cela ne peut pas être le second joueur, car sinon le premier disposerait de cette stratégie gagnante :

  • jouer n’importe quelle case ;
  • laisser le second joueur jouer ;
  • appliquer chaque fois que c’est possible, la stratégie gagnante du second joueur. Quand ce n’est pas possible (car la stratégie gagnante consisterait à jouer la case jouée en premier), jouer n’importe quelle case restante ;
  • etc.

Ce vol de stratégie montre que s’il y a une stratégie gagnante, ce ne peut être que pour le premier joueur. Or il existe une stratégie gagnante (puisque les parties nulles sont impossibles) donc elle est pour le joueur qui joue en premier.

Ce résultat est connu depuis sa publication par Nash, dans cet article de RAND :

La règle du gâteau

Même si on ne connaît pas la preuve de Nash, la pratique du jeu de Hex finit par faire pressentir l’avantage qu’il y a à jouer en premier. Pour rétablir une certaine équité, deux astuces existent parmi les joueurs de Hex :

  1. Le jeu de Rex (Reverse Hex) est identique à Hex, à ceci près que le premier qui a joint ses bords opposés par un chemin de sa couleur, est le perdant. C’est donc la version « qui perd gagne » de Hex [4].
  2. La règle du gâteau est un algorithme classique pour approcher l’équité. Dans le cas de Hex, elle consiste à laisser au second joueur, au début du jeu, un choix :
  • ou bien il joue en plaçant un de ses jetons sur une case de son choix (autre que celle déjà jouée)
  • ou bien il change d’identité avec son adversaire, de sorte que celui-ci rejoue mais dans une autre couleur, qu’il gardera jusqu’à la fin du jeu.

Il peut être intéressant de voir combien d’élèves de l’école maternelle réinventent cet algorithme, ou inventent leur propre algorithme de recherche d’équité.

Adoubement en petite section

Comme on l’a vu, la perception des lignes n’est pas encore assez performante en petite section, pour permettre aux élèves de savoir qui a gagné. Ils jouent donc au hasard et à la fin, c’est à quelqu’un de plus âgé qu’eux, de dire qui a gagné. Mais ils adorent adouber (échecs), c’est-à-dire dans le cas présent, replacer bien au centre de l’hexagone, un jeton décalé. On le voit sur l’animation ci-dessus, l’adoubement ayant lieu par les rouges (PS) alors même que les bleus (CE1) sont en train de jouer le coup suivant.

On voit sur cet exemple la volonté de faire un alignement, les bleus essayant de créer une ligne bleue :

Mais celle-ci allant d’un bord rouge à l’autre bord rouge, ne peut être gagnante pour les bleus. De fait ce sont les rouges qui ont gagné :

Triche

Voici un autre exemple de partie, jouée entre les rouges (PS) et les bleus (CE1) :

Les bleus ont joué en premier :

Les rouges réussissent à compléter une ligne, mais celle-ci joint un bord rouge et un bord bleu :

Les bleus aussi ont réussi à compléter une ligne mais celle-ci joint deux bords rouges :

Pendant ce temps les rouges ont réussi à compléter une deuxième ligne (toujours joignant un bord bleu à un bord rouge).

Les bleus essayent ensuite de compléter une diagonale bleue (qui est gagnante). Mais les rouges interrompent cette ligne bleue en y insérant un jeton rouge.

Alors les bleus trichent en déplaçant ce jeton rouge discrètement dans un coin pour insérer à la place un jeton bleu :

C’est d’autant plus surprenant que les bleus avaient un coup gagnant en plaçant un jeton à droite de ce jeton rouge.

Au final les bleus ont gagné en trichant :

La version avec crayons de couleur (un rouge, un bleu) présente l’avantage d’interdire cette façon de tricher, en plus d’assurer une certaine pérennité à la partie : elle permet de reporter à un autre jour (ou à une autre classe) la question de savoir qui avait gagné. Il suffit pour cela de noter en rouge et en bleu les prénoms des deux joueurs, avant même qu’ils jouent (sauf s’ils appliquent la règle du gâteau).

Shannon

Ce fichier permet de jouer en ligne, en cliquant sur une case blanche pour la colorier en rouge ou en bleu :

Toutefois, il n’est pas très facile de voir les chemins. Par exemple ci-dessus, Rouge a gagné, et cela se voit moins que sur la version classique :

Mais en imaginant chacune des arêtes du graphe ci-dessus comme une résistance électrique (de 2,2 kΩ), on peut construire une copie du graphe sous forme de réseau électronique :

Les sommets du graphe sont des prises. Jouer consiste, pour les bleus, à brancher dans une prise libre de son choix, un câble noir. Il y en a 3 déjà branchés ci-dessus. Si les rouges essayent de jouer systématiquement en branchant un câble rouge dans la prise de plus petit potentiel (ci-dessus, 1,8 V) alors cela les amène à créer une ligne rouge allant du noir au noir (ou du bleu au bleu).

Si par contre les rouges jouent le potentiel le plus élevé (ci-dessous 2,28 V) ils peuvent gagner :

Mais ce n’est pas là la stratégie décrite par Nash à propos de Shannon : on cherche à minimiser le potentiel sur une ligne passant par le sommet de potentiel maximum. Et là, au premier essai, les noirs (joués par la machine) gagnent :

Graphes

Voici une variante du jeu à 5×5 cases (ci-dessous, l’original) :

On fait en quelque sorte rétrécir les cases pour qu’elles deviennent les sommets d’un graphe, dont chaque joueur essaye de joindre (par des sommets de sa couleur) les deux sommets déjà coloriés dans sa couleur :

C’est sur ce genre de graphe que Shannon a créé son jeu de connexion et sa stratégie au Hex : il suffit de remplacer chaque arête du graphe par une résistance (toutes les résistances étant de la même valeur) et les sommets bleus sont reliés à la masse, les sommets rouges au plus de l’alimentation (le rôle de Rouge est en fait d’essayer d’établir un court-circuit).

D’autres graphes que le jeu classique de Hex peuvent être coloriés. Par exemple ce jeu inédit, avec ce célèbre graphe :

Ce dernier jeu possède une stratégie gagnante, laquelle ?

Hex lors de la semaine des mathématiques 2022

Le lundi 28 mars 2022, à l’occasion de la semaine des mathématiques, le jeu de Hex en version coloriage a été pratiqué à l’école Aristide Briand du Tampon (mais pas en cycle 1, ni même en CP pour l’instant).

coloriage

Des élèves (ici en CE 1) colorient avec soin :

Cela permet (ici en CE 1) de voir comment s’est déroulée la partie. Ici il s’est déroulé une vraie course de terrain :

CE 1

Les bleus vont très vite (dessins de cercles au lieu de coloriage) mais se font battre quand même par les rouges, peut-être parce que le chemin est mieux visible lorsque les hexagones sont coloriés :

Les bleus gagnent :

enfin plus précisément les bleus auraient gagné s’ils avaient bien joué : ils auraient dû colorier l’hexagone en face de celui colorié :

De ce fait ce sont les rouges qui ont gagné :

CE 2

Un problème s’est posé dans l’organisation de la journée : les élèves n’étant pas dans leur propre salle, n’avaient pas de crayons de couleur à leur disposition, ils ont donc dû utiliser des feutres :

Le risque de vider prématurément la cartouche d’encre du feutre a donc mené les élèves à dessiner de façon plus économique (croix ci-dessus) ce qui a pu nuire à la visibilité des lignes.

Ici les bleus ont perdu, peut-être parce qu’ils essayaient de joindre par un chemin bleu, deux bords de couleurs différentes :

Une situation similaire s’est déroulée ici :

Comme en CE 1, on voit des courses-poursuites :

Il est possible que les élèves aient ignoré qu’ils avaient le droit de colorier des cases non contigües. Possible aussi qu’ils n’en aient pas vu l’intérêt.

Ici les bleus ont gagné :

Et ici ce sont les rouges :

En CE 2, le jeu de Hex consolide des notions de géométrie : hexagone bien entendu, mais aussi le fait qu’un losange est un parallélogramme (chaque joueur a à sa disposition deux bords opposés, donc parallèles, du losange). Pour la jouabilité et pour laisser le temps de réfléchir à une éventuelle stratégie, la version aquarelle aurait sans doute été meilleure, si le temps l’avait permis.

CM 1

En cycle 3, l’activité s’est déroulée à un autre rythme, puisqu’il y a été ajouté la partie sur la machine de Shannon.

Le coloriage a été fait avec plus de soin qu’en cycle 2 :

Les élèves de CM1 ont tendance à ne pas utiliser l’espace blanc pour inscrire leur nom, mais à l’écrire sur chacun de leurs territoires pour les identifier (ici les rouges ont gagné) :

Ici ce sont les bleus qui ont gagné :

La fin de l’activité a consisté à jouer contre la machine, ce qui suppose

  • qu’on choisisse où on pose un jeton noir
  • qu’on branche sur la machine, un câble noir sur la position choisie
  • qu’on mesure les potentiels électriques sur les prises non encore jouées
  • qu’on repère la prise de potentiel maximum
  • qu’on cherche un chemin gagnant pour les rouges passant par cette prise
  • qu’on repère sur ce chemin la prise de potentiel minimum
  • qu’on y branche un câble rouge et pose un jeton rouge sur le sommet correspondant.

Le premier groupe a perdu contre la machine (les rouges ont presque un chemin) :

Le second groupe par contre a gagné :

Le point de potentiel maximum est au milieu du bord rouge de gauche :

mais on ne réussit pas à trouver de chemin gagnant pour les rouges passant par ce sommet. En fait il n’existe pas de chemin gagnant pour les rouges, et le fait qu’on ne peut pas appliquer la stratégie des rouges illustre que ceux-ci ont perdu.

Chaque étape nécessite de lire des nombres décimaux sur le voltmètre :

ce qui donne un intérêt nouveau à l’activité (les nombres décimaux sont au programme de cycle 3). Les élèves passent du temps non seulement à lire des nombres décimaux, mais aussi à les comparer (pour savoir où est le maximum ou le minimum).

CM 2

Le coloriage est parfois fait avec beaucoup de soin :

Voici une partie qui vient presque de commencer :

En voyant ce coloriage on se demande si les rouges jouent au mieux :

En fait ils gagnent :

Ici aussi les rouges ont gagné :

La partie sur la mesure de potentiels a plutôt bien marché mais la plupart des élèves n’osent pas manipuler (en cela ils ressemblent déjà à des lycéens).

Une mesure de tension

aboutit à ce que les rouges jouent ce sommet :

Vont-ils gagner ? Nul ne le sait, la séance s’est arrêtée à ce point.

Cycle 3

Voici des extraits du programme auxquels correspond cette activité :

Connaître les unités de la numération décimale (unités simples, dixièmes, centièmes, millièmes) et les relations qui les lient.
Utiliser les nombres décimaux pour rendre compte de mesures de grandeurs.
Connaître le lien entre les unités de numération et les unités de mesure (par exemple
dixième à dm/dg/dL, centième à cm/cg/cL/centimes d’euro).
Comparer, ranger des nombres décimaux.

Ici l’unité de mesure la plus adaptée est le millivolt (mV) qui est le millième d’un volt. Il n’est pas nécessaire que les élèves sachent ce qu’est un volt pour cette activité.

C’est surtout la comparaison des nombres décimaiux qui est mise en œuvre dans cette activité. Par exemple pour trouver le potentiel maximum il faut savoit quelle tension est la plus élevée, entre 2,29V et 2,3V.

énigmes

Qui a gagné ce jeu (en CE1) ?

Il y a un hexagone qu’on ne voit pas. Néanmoins on peut savoir qui a gagné ce jeu :

Qui ?

Qu a gagné le jeu ci-dessous (en CE 2) ?

Trois questions à propos de cette partie menée en CM2 :

  1. qui sera le prochain à colorier un hexagone ?
  2. qui a joué en premier ?
  3. qui va gagner cette partie ?

Gouache

Combien de temps faut-il pour savoir qui a gagné le jeu ci-dessous ?

Et pour celui-ci ?

On a pu voir dans les exemples précédents que la perception des chemins est plus facile lorsque les hexagones sont entièrement coloriés. Or pour cela il y a mieux que les crayons de couleur ou les feutres : la gouache. Une technique proche de celle du remplissage à la gouache a ét faite au feutre, en jouant d’abord les bords (intérieurs) puis en les remplissant seulement à la fin de la partie :

L’expérience du jeu de Hex à la gouache a été tentée en CP (classe de CP a de l’école Aristide Briand) le lundi 9 mai 2022. Cela a révélé que le coloriage à la gouache est techniquement plus difficile que celui au crayon, surtout pour ne pas déborder :

Un avantage de la gouache est qu’elle permet de mieux voir les chemins gagnants. Des élèves ont même repassé un coup de pinceau dessus pour montrer convaincre leur adversaire de leur victoire :

Par contre les CP ayant tendance à mettre trop de gouache, les couleurs peuvent se mélanger et faire croire à de la triche.

Remarque : parmi les capacitées attendues en fin de cycle 2 il y a

Agir sur les formes (supports, matériaux, constituants...), sur les couleurs (mélanges, dégradés, contrastes...), sur les matières et les objets : peindre avec des matières épaisses, fluides, sans dessin préalable

Observer, expérimenter des principes d’organisation et de composition plastiques : répétition, alternance, superposition, orientation, concentration, dispersion, quilibre...

On était en plein dedans !

La plupart des élèves de CP ont senti que celui qui joue en premier a plus de chances de gagner. Il leur a alors été demandé comment modifier les règles du jeu de façon à équilibirer les chances. Une élève a proposé cette variante, inédite semble-t-il, du jeu de Hex :

Au début, comme dans le jeu de Hex classique, Bleu colorie (en bleu) un hexagone de son choix. Ensuite, Rouge colorie (en rouge) deux hexagones autres que l’hexagone bleu.
Ensuite le jeu se poursuit normalement, chaque joueur coloriant dans sa couleur un hexagone libre.

Testée en live par les élèves, cette variante semble effectivement moins avantageuse pour le premier joueur, que le jeu de Hex classique. De fait il semble même que maintenant le second joueur soit trop avantagé.

Pour y remédier, une élève a proposé le 4 juillet 2022 une variante de la variante ci-dessus :

Au début, Bleu colorie deux hexagones de son choix.
Ensuite Rouge colorie trois hexagones de son choix.
Après cela, chaque joueur colorie à son tour 1 hexagone comme au jeu de Hex classique.

Cette série de constructions ressemble à une suite de fractions qui pourrait converger vers un nombre quantifiant l’avantage de Bleu sur Rouge à Hex :

  • la première fraction (Hex classique) est 1/1=1 : trop petit puisque Bleu gagne
  • la seconde fraction (variante du 9 mai) est 2/1=2 : trop grand puisque Rouge gagne
  • la troisième fraction (variante du 4 juillet) est 3/2=1,5 qui est entre les deux précédentes.

CP

Le 4 juillet 2022, la classe de CP qui avait déjà eu l’occasion de jouer à Hex avec la gouache, a eu droit à une nouvelle séance, cette fois-ci avec des jetons à deux couleurs :

Aucun n’a essayé d’inventer une variante où on pourrait sous certaines conditions changer la couleur d’un jeton déjà posé (en le retournant). Il faut dire qu’il n’y avait pas assez de jetons pour tous les élèves, et certains nostalgiques de la gouache ont préféré colorier les hexagones au crayon.

Ici les rouges ont gagné mais ils ont joué en premier :

Ici les rouges ne peuvent plus perdre :

Les joueurs semblent en être conscients même s’ils préfèrent continuer le coloriage :

Voici l’analyse d’une partie acharnée au point que les Bleus n’attendaient pas la fin de la coloration de l’hexagone pour contrer :

Les bleus ne colorient pas nécessairement des hexagones contigüs, les rouges si :

Malgré ce manque d’anticipation, les rouges finissent en position gagnante (les bleux viennent d’essayer leur progression en haut) :

En fait, on dirait que les bleus ont retenu l’intérêt qu’il y a à colorier en bleu deux hexagones séparés par un « pont » entre deux heaxagones vides, mais n’ont pas encore compris que ça ne sert pas à grand-chose si un des hexagones intermédiaires est déjà rouge. Les rouges gagnent :

Autres jeux de connexion

Un cas particulier du jeu de Shannon a été créé à la fin des années 1950 par David Gale. Il s’appelle bridg-it et a fait l’objet d’une expérimentation à l’école Decroly de Saint-Mandé dans les années 1970. Les points à relier étaient peints sur des ardoises sur lesquelles les élèves jouaient avec des craies de couleurs différentes. On peut aussi y jouer avec une planche à clous et des bâtons calibrés de deux couleurs pour être placés entre deux clous.

Les jeux de connexion suivants nécessitent un matériel relativement facile à fabriquer : des cartes de forme carrée ou hexagonale montrant des morceaux de chemins à assembler pour des chemins plus longs.

L’un des plus anciens est le Black path game comportant les trois types de cartes suivantes :

En fait, il n’y a que deux cartes possibles, les deux premières ci-dessus étant deux versions de la même carte tournées différemment.

Comme aux dominos, les joueurs placent alternativement des pièces parmi les 3 ci-dessus, de manière que la pièce touche une pièce déjà posée (la première pièce est posée sur un bord de la grille). Au fur et à mesure que les pièces sont posées, il se forme un chemin. Lorsque ce chemin joint deux bords de la grille (ou un bord à lui-même), le joueur qui vient de poser une pièce a perdu le jeu :

Le second des jeux de Lewthwaite utilise uniquement cette carte (dans deux orientations différentes) :

Mais là, on ne pose pas les cartes (on les fait glisser comme au taquin). Et le but du jeu est cette fois-ci d’être le premier à constituer un chemin de longueur pas trop courte.

Ni le Black path game, ni le second jeu de Lewthwaite, n’ont été jusqu’ici, semble-t-il, pratiqués à l’école maternelle. Leur pratique pourrait éventuellement développer la vision des lignes.

Un autre jeu de connexion est trax. Il se joue avec des pièces de forme carrée :

Le but du jeu est d’être le premier à faire un chemin suffisamment long, ou une boucle.

Il en est de même avec le jeu tantrix dont les dalles sont hexagonales :

Trax est annoncé pour des joueurs d’au moins 8 ans, Tantrix pour des joueurs d’au moins 6 ans. Autant dire que leur pratique à l’école maternelle n’est pas fréquente...

Voici un jeu de cartes pour Trax, à imprimer en noir et rouge :

Et voici un jeu de cartes pour Trantrix (un seul exemplaire de chaque carte par couple de joueurs) :

L’abeille et la chenille

Cette activité non plus n’a pas encore, semble-t-il, été expérimentée à l’école maternelle.

Le jeu de Hex est intéressant à jouer à tout âge, car

  • dès la petite section, il mobilise la phase de manipulation (placer les jetons au bon endroit, colorier correctement les sommets d’un graphe),
  • en grande section (voire avant) il mobilise la perception des lignes (chemin gagnant rouge ou bleu) ce qui pourrait constituer une aide à l’apprentissage de la lecture et du dessin par la suite,
  • il pose des questions (cruciales pour beaucoup d’enfants) sur l’équité, et mène à une réflexion intéressante sur la règle du gâteau (en ce sens il contribue à socialiser les élèves),
  • une partie de Hex ne dure pas très longtemps (c’est trouver qui a gagné, qui peut être plus long),
  • il familiarise avec la structure en nid d’abeille et le fait qu’un losange est un parallélogramme,
  • plus tard il permet de réaliser un projet électronique avec la machine de Shannon,
  • etc !

[1C’est peut-être sur les mêmes goban de Princeton, que par la suite, John Conway a inventé le football des philosophes.

[2voir le début du 3 page 6 (ou 822 sur le papier) de ce document.

[3dessinés sur alcoffeethmique avec ce script :

[4Là aussi, il y a une stratégie gagnante, mais elle est parfois pour le second joueur. Cela dépend de la parité du nombre de cases.


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