La division d’or et la division de fer chez Gerbert

division sur l’abaque de Gerbert
vendredi 21 janvier 2022
par  Alain BUSSER

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doigts et articles

Il est probable que Gerbert ait effectué des démonstrations de l’abaque lors de ses cours de calcul. Alors soit Gerbert effectuait un calcul devant ses élèves en nommant ses doigts et les jetons pointés par les doigts, soit l’élève avait les jetons devant lui et Gerbert lui expliquait oralement quels mouvements effectuer. Il utilisait le vocabulaire suivant :

  • digit (le doigt, probablement l’index droit) désigne le chiffre courant (celui des unités, ou le plus dextre des deux chiffres d’un produit partiel)
  • articulos (article ou articulation) désigne le chiffre à gauche du chiffre courant, ou le plus sénestre des deux chiffres d’un produit partiel
  • denominatio (dénomination) est le nombre correspondant au chiffre. Par exemple la dénomination du chiffre 3 est le nombre trois.

Par exemple, si on veut effectuer le produit de 700 par 30, on appelle dénomination de 700 le nombre 7 et dénomination de 30 le nombre 3, et le produit des dénominations est 21, dont l’article est 2 et le doigt est 1. En fait 1 n’est que la dénomination du doigt, la valeur associée étant mille. Donc l’article 2 et le doigt 1 représentent le nombre vingt et un mille.

Pour se rappeler ce que signifient les lettres en haut des colonnes de l’abaque, on peut utiliser les mots suivants :

  • M signifie Milliers
  • C signifie Centaines
  • X signifie dixaines
  • I signifie unités

Manuscrits

L’abaque de Gerbert étant largement antérieure à l’imprimerie, le seul moyen disponible pour faire connaître cet artéfact était la copie manuscrite. Or le moine copiste était tenté d’ajouter des commentaires de son cru (ce qui dans le cas présent est une bonne chose puisqu’on comprend parfois mieux les explications supplémentaires acquises par la manipulation de l’abaque, que des règles édictées par Gerbert et ses élèves). On dispose donc de peu de sources sur la division à l’époque de Gerbert, et pratiquement pas de source directe.

Gerbert se servait de son abaque pour l’enseignement du calcul (en astronomie notamment). La seule chose qu’il ait écrite au sujet de son abaque est une lettre à Constantin de Micy consistant essentiellement en des listes de procédés mnemotechniques. Par exemple pour décrire la multiplication par un nombre comme 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 ou 90 :

  • Si decenum per decenum, dabis digito centum, et articulo mille
  • Si decenum per centenum, dabis digito mille et articulo decem millia
  • Si decenum per millenum, dabis digito decem millia, et articulo centum millia
  • Si decenum per decenum millenum, dabis digito centum millia et articulo mille millia
  • Si decenum per centenum millenum, dabis digito mille millia et etiam unicuique articulo decies mille millia

La ressemblance entre cette poésie et ce qu’il y a dans un grimoire, alliée à l’exotisme des chiffres ghûbar probablement utilisés par Gerbert, pouvaient donner un caractère inquiétant à ce manuscrit ; ce qui peut expliquer le peu de succès dont a bénéficié l’abaque de Gerbert après la mort de celui-ci.

Deux élèves de Gerbert ont évoqué l’abaque dans leurs écrits :

  • Richer, évoquant surtout des détails techniques (27 colonnes, 1000 jetons en ivoire)
  • Bernelin de Paris, dont le manuscrit est au contraire très riche, avec un paragraphe sur la multiplication, et de nombreux exemples de divisions.

Ce dernier est intéressant parce qu’il décrit deux algorithmes de division, mais aussi parce que son manuscrit a été traduit en français par Béatrice Bakhouche avec ajout de graphiques (inexistants chez Bernelin) permettant de mieux comprendre le fonctionnement de ces algorithmes.

Un manuscrit attribué à Boèce laisse penser que c’est à lui que revient la paternité de l’abaque de Gerbert, mais ce manuscrit est apocryphe : il s’agit d’une copie plus récente que Gerbert.

Adélard de Bath a écrit Regulæ Abaci au XIe siècle. Ce texte, traduit en français par Michel Chasles, est la principale source de cet article.

La traduction de Chasles n’est pas un manuscrit puisqu’elle est postérieure à l’invention de l’imprimerie : c’est dans les comptes rendus de l’académie des sciences que Chasles a publié en 1843 son histoire de l’arithmétique, sous-titrée explication des traités de l’Abacus, et particulièrement du traité de Gerbert.

Note : les images ci-dessous sont cliquables, elles mènent à des articles décrivant les étapes successives des calculs indiqués.

Purges et additions

Aucun des auteurs cités précédemment, ne traite de l’addition et la soustraction. Mais il est nécessaire de maîtriser l’addition pour effectuer une multiplication ou une division sur l’abaque de Gerbert : il est fréquent qu’au cours du calcul, plusieurs jetons s’accumulent dans une même colonne, et il est alors nécessaire d’effectuer des groupements-échanges. Chasles appelle cela purger (purgatio chez Adélard).

Voici l’exemple de l’addition 1800+12000+12000+80000 :

Addition de plusieurs termes avec l’abaque de Gerbert

La pratique de la multiplication sur l’abaque de Gerbert permet d’apprendre à visualiser (de plus en plus mentalement) les lignes verticales séparant les colonnes, de s’entraîner à de groupements-échanges et additions, et de mémoriser la distributivité et les puissances de 10. Il est donc salutable de la pratiquer dès le CE2, afin d’éviter de passer trop de temps en CM2, pour présenter l’abaque. Il s’agit d’un entraînement sur le long terme.

Soustractions et multiplications d’entiers

Pour effectuer une multiplication, on ne fait pas comme les algoristes qui effaçaient et réécrivaient sur place, mais plus classiquement :

Multiplication avec l’abaque de Gerbert, version Adélard de Bath

Pour effectuer une soustraction sur l’abaque de Gerbert, on peut la transformer en addition, à l’aide du complément à 10. Par exemple, si on veut soustraire 4132 à 7810, on peut transformer 4132 de la manière suivante :

  • remplacer chaque chiffre par son complément à 9 (9 moins le chiffre) : on obtient 5867
  • incrémenter le nombre obtenu : on obtient 5868
  • additionner 5868 à 7810 (au lieu de soustraire 4132 à 7810) : on obtient 13678
  • enlever le premier chiffre de la somme (le 1) : la différence cherchée est 3678

Gerbert (ni aucun de ses élèves) n’a jamais rien publié sur la soustraction, mais cette méthode ressemble à la division dite de fer qu’on verra plus bas. L’algorithme de soustraction par « complément à 10 » est donc une bonne préparation à la division. Mais également au programme de NSI, où l’équivalent en base 2 est vu en classe de 1re.

Bernelin et Adélard ne donnent chacun qu’un exemple de multiplication, parce que pour eux l’essentiel réside dans la nouvelle (à l’époque) opération : la division.

La division peut se pratiquer sur l’abaque de Gerbert comme sur le papier, en effectuant des soustractions répétées tant que possible (c’est l’algorithme dit « d’or » ) ou avec un algorithme comportant plus d’étapes mais dont les calculs sont plus simples : la division de fer, inventée semble-t-il par Gerbert.

Division d’or

Bernelin (qui appelait « maîtresse » la division classique, celle de fer étant « la servante ») et Adélard (auream ou sine differentiis, l’autre algorithme étant de ferrea ou cum differentiis) donnent peu d’exemples de la division d’or. Peut-être parce qu’elle est plus connue que l’autre, ou parce qu’elle sollicite plus le calcul mental et de ce fait est moins conseillée en début d’apprentissage.

Abélard donne deux exemples seulement :

diviseur d’un seul chiffre diviseur de plusieurs chiffres
Division de 30 par 2 sur l’abaque de Gerbert
Division de 100 000 par 20 023 sur l’abaque de Gerbert

Gerbert a utilisé son abaque pour la première fois lorsqu’il était écolâtre à l’école cathédrale de Reims. Son abaque avait donc un but essentiellement pédagogique. La division de fer (apparemment une autre création de Gerbert) semble relever du même souci de rendre la manipulation la plus simple possible pour des débutants. D’où son intérêt pour des élèves qui, une fois lycéens, ne maîtrisent pas nécessairement le calcul posé.

Pour la division de fer, on n’a besoin que d’une seule soustraction, au début (il s’agit d’un complément à 10) :

Division (de fer) de 900 par 8

Division de fer

La division de fer est plus longue que la division classique (appelée d’or ici) au sens où elle comprend plus d’étapes, mais chacune de ces étapes est plus simple. On y effectue usque ad solos digitos (jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un chiffre) les actions suivantes :

  • diviser le chiffre dominant par un nombre d’un chiffre (précalculé de manière que la division soit facile)
  • multiplier le quotient alors obtenu, par la « différence » (précalculée à partir du nombre d’un chiffre et du diviseur)
  • remplacer le reste par le produit obtenu
  • additionner les morceaux du nouveau reste pour simplifier la suite des calculs.

À chaque étape du calcul, on n’effectue donc que des multiplications et divisions par des nombres d’un chiffre et des additions.

Voici par le détail comment on divise 7 800 par 166 avec la méthode de fer :

Division (de fer) de 7 800 par 166

On commence par précalculer

  • le diviseur simple (166 commence par 1 donc c’est 200)
  • la différence entre 200 et 166 qui est 34

Ensuite on divise par 200 et on multiplie le quotient partiel par 34, jusqu’à ce que le reste soit devenu plus petit que 200 : là on passe à la division d’or pour la fin du calcul.

Comme Gerbert et ses élèves n’utilisaient pas le chiffre zéro, Adélard (suivant Bernelin) sépare le cas où il y a plusieurs morceaux dans le diviseur. Par exemple les deux chiffres de 606 sont séparés par le vide des dizaines. Mais l’algorithme est le même :

  • on précalcule le diviseur opérationnel (le premier chiffre de 606 est un 6 donc le chiffre du diviseur opérationnel est un de plus soit 7 ; le diviseur opérationnel est donc 700)
  • on précalcule la « différence » qui est 700-606=94 (c’est là que Gerbert trouve que l’algorithme n’est pas le même)

Ensuite on divise le plus grand chiffre par 700 et on multiplie le quotient partiel par 94, jusqu’à ce que le reste soit plus petit que 700, auquel cas on passe à la division d’or. Mais comme le reste est alors également plus petit que 606, la division est terminée :

Division (de fer) de 8 000 par 606

Voici un projet mené sur la division de fer par Emmanuelle Boyer (du lycée Émile Duclaux qui est ... à Aurillac, et de l’IREM de Clermont-Ferrand). En lançant avec Python le fichier ProgPrincipalAbaqueTkinter.py on peut faire des simulations de divisions de fer. Un document explicatif est également joint. Le tout est sous licence CC-by-SA ce qui autorise à améliorer le code.

Les scripts Python le document
animation TkInter
animation interactive pour des divisions de fer
projet NSI
article orienté informatique (preuves d’algorithme)

De 972 à 980, Gerbert enseigne les sciences (notamment l’astronomie) à l’école cathédrale de Reims. Pour l’astronomie, il a besoin de former ses élèves à la pratique de la division : il fallait que ses élèves puissent en quelques mois apprendre à mener rapidement et sans faire d’erreurs des divisions de nombres à plusieurs chiffres. Gerbert a utilisé pour ce faire, son abaque et la division de fer. Il n’est peut-être pas illusoire de vouloir comparer les élèves de Gerbert (issus de la noblesse, et ignorants de l’arithmétique, la division étant très peu connue à l’époque) avec les élèves de cycles 2 et 3. Par exemple voyons comment on peut adapter la progression de Gerbert à une séquence allant du CE2 à la 6e :

Divisions

La traduction par Chasles du manuscrit de Gerbert commence par ce sommaire :

  1. Diviser des unités par des unités (on retranchera simplement le diviseur du dividende, autant de fois qu’il se peut).
  2. Diviser des dizaines ou des centaines, etc., par des unités (méthode des différences).
  3. Diviser des centaines ou des mille, etc., par des dizaines (méthode des différences).
  4. Diviser des dizaines, des centaines ou des milles ... par des unités jointes à des dizaines (méthode des différences).
  5. Autre manière de diviser ... par les mêmes diviseurs.
  6. Diviser des centaines par des dizaines jointes à des centaines, ou des mille par des centaines jointes à des mille, etc (méthode des différences).
  7. Autre manière de diviser des centaines ou des mille...
  8. Diviser des centaines par des centaines jointes à des unités, avec une place vide au milieu ... (procédé actuel).
  9. Diviser des mille par des centaines jointes à des unités, ou des dix-mille par des mille joints à des dizaines...

Gerbert ne fait qu’énumérer des cas de divisions, mais la progression a l’air applicable à des élèves du premier degré. Le détail est donné dans les onglets suivants.

1

Gerbert commence donc par des divisions d’un nombre d’un seul chiffre par un nombre d’un seul chiffre, et ici, le dividende et le diviseur sont tous deux inférieurs à 10. Pour cela il suffit de soustraire le diviseur au dividende autant de fois que possible, en comptant les soustractions effectuées.

Par exemple pour diviser 7 par 2, on

  • soustrait 2 à 7 pour avoir 5 (une soustraction effectuée)
  • soustrait 2 à 5 pour avoir 3 (deux soustractions effectuées)
  • soustrait 2 à 3 pour avoir 1 (trois soustractions effectuées)

Comme on ne peut plus soustraire 2 à 1, on a terminé la division sur un reste de 1. Comme on a effectué trois soustractions, le quotient est 3.

L’abaque de Gerbert n’est pas nécessaire pour faire ces exercices mais comme la maîtrise de ces divisions de nombres à un chiffre est nécessaire pour la suite, il est probable que les exercices aient été effectués un grand nombre de fois avant de passer à la suite.

Ces exercices sont envisageables dès le CE2, comme application de la soustraction (la division étant une soustraction itérée). On peut même envisager la fabrication collaborative de cette table de division (suivant l’usage extrême-oriental, plutôt que donner le quotient et le reste entiers, on donne le résultat avec écriture fractionnaire, par exemple lorsqu’on dit qu’en divisant 7 par 2 on a un quotient de 3 et un reste de 1, on résume en 7/2=3+1/2 qu’on note 3 1/2) :

dividendes : 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1/2 1 1 1/2 2 2 1/2 3 3 1/2 4 4 1/2
3 1/3 2/3 1 1 1/3 1 2/3 2 2 1/3 2 2/3 3
4 1/4 2/4 3/4 1 1 1/4 1 2/4 1 3/4 2 2 1/4
5 1/5 2/5 3/5 4/5 1 1 1/5 1 2/5 1 3/5 1 4/5
6 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1 1 1/6 1 2/6 1 3/6
7 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 1 1 1/7 1 2/7
8 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1 1 1/8
9 1/9 2/9 3/9 4/9 5/9 6/9 7/9 8/9 1

Ensuite, Gerbert constate que diviser 70 par 20 revient au même que diviser 7 par 2, et on peut, par exemple en guise de révision d’entrée en CM1, faire des exercices de division de type 70÷20 mais aussi 700÷200 voire 7000÷2000.

2

Ensuite on peut faire diviser 70 par 2 et analogues. Voici des exemples :

  • diviser 40 par 7
  • diviser 90 par 5
  • diviser 30 par 3
  • diviser 20 par 8
  • diviser 70 par 9
  • diviser 60 par 8
  • diviser 90 par 2
  • diviser 80 par 6

etc.

Là, Chasles considère qu’il devient intéressant d’utiliser la division de fer. Par exemple pour diviser 80 par 6,

  • on peut se reférer à l’onglet précédent et dire que puisque 8÷6=1+2/6 alors 80÷6=10+20/6 et il ne reste qu’à effectuer la division de 20 par 6 (et même 20÷6 peut être fait par la division de fer : la différence est 10-6=4, et on divise 20 par 10 - quotient 2 - pour ensuite avoir comme reste 2×4=8, et on finit en divisant 8 par 6, on a un reste 2 et un quotient 1 à additionner avec le quotient 2 précédent) : 20÷6=3 + 2/6 donc 80÷6=10+3+2÷6=13+2/6
  • on peut utiliser la table de 6 : 80=60+20 donc 80÷6=60÷6+20÷6=10+3+2÷6=13+2÷6
  • on peut effectuer une division euclidienne (d’or) : 8=6+2 donc 8÷6=1+2÷6 donc 80÷6=10+20÷6 et comme 3×6=18, 20÷6=18÷6+2÷6=3+2÷6 d’où 80÷6=13+2÷6
  • on peut effectuer une division de fer :

On arrondit 6 à l’entier supérieur 10.

Du coup on a besoin de la différence 4 (c’est par elle qu’on multipliera ci-après).

  1. 80÷10 = 8 (quotient partiel)
  2. 8×4 = 32 (nouveau reste)
  3. 30÷10 = 3 (quotient partiel), reste 2
  4. 3×4 = 12 à ajouter au reste 2 (nouveau reste 14)
  5. 14÷10 = 1 (quotient partiel), reste 4
  6. 1×4 = 4 (à ajouter au reste 4 pour avoir 8)
  7. 8÷6 = 1 (quotient partiel), reste 2

La somme des quotients partiels est 8+3+1+1=13, et le reste est 2, donc 80÷6=13+2÷6

3

On propose ensuite (toujours en CM1) de passer à des divisions du type 300000÷40 ou 8000÷500 etc.

Et là encore, la division de fer est efficace. Par exemple pour diviser 8000 par 500, on commence par calculer le diviseur opérationnel qui est 1000, puis la « différence » 1000-500=500, et on initialise le reste à 8000. Ensuite,

  1. on divise 8000 par 1000, on trouve un quotient partiel de 8,
  2. on multiplie 8 par 500, on a un nouveau reste de 4000,
  3. on divise 4000 par 1000, on trouve un quotient partiel de 4 (à ajouter aux 8 pour avoir 12),
  4. on multiplie 4 par 500, on a un reste de 2000,
  5. on divise 2000 par 1000 pour avoir un nouveau quotient partiel de 2 (à ajouter aux 12 pour avoir 14),
  6. on multiplie 2 par 500 pour avoir un reste de 1000,
  7. on divise 1000 par 1000 pour un quotient partiel de 1 (à ajouter aux 14 pour avoir 15),
  8. on multiplie 1 par 500 pour avoir un reste de 500,
  9. comme le reste est plus petit que 1000, on passe à la division d’or, il reste à diviser 500 par 500 et le quotient est 1 avec un reste nul. Il s’agit d’un quotient partiel, à additionner avec les 15 pour avoir 16 :

8000÷500=16, autrement dit 8000=500×16

Ce genre d’exercices est plutôt pour le CM2 (à la limite, la fin du CM1).

4

On passe maintenant à des diviseurs à deux chiffres comme 11, 27 ou 99.

Par exemple, pour diviser 84 par 24, on se livre d’abord à un travail de préparation :

Gerbert appelle différence ce nombre 30-24=6. C’est donc par 6 qu’on multipliera les quotients partiels pour avoir les restes à diviser à leur tour par 30.

  1. 84=60+24, on peut donc déjà réserver 24 pour plus tard et diviser 60 par 30. Le quotient est 2.
  2. Ensuite on multiplie 2 par 6 : cela fait 12, à ajouter aux 24 qui restaient. 12+24=36=30+6. On peut alors réserver 6 et diviser 30 par 30.
  3. Le quotient de 30 par 30 est 1, à ajouter au quotient 2 : le quotient est (pour l’instant) égal à 3.
  4. Pour avoir le reste, il faut multiplier le dernier quotient partiel 1 par 6 (1×6=6) puis ajouter ce 6 aux 6 réservés : le reste de la division est 12.

Pour vérifier le calcul, on peut effectuer (par exemple sur l’abaque de Gerbert) le calcul 3×24+12=72+12=84.

Voici d’autres exercices d’entraînement à la division, à faire sur tout le cycle 3 :

  • 37÷12
  • 48÷15
  • 42÷25
  • 87÷25
  • 120÷45
  • 240÷56
  • 320÷58
  • 210÷37
  • 1200÷97

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La division de fer n’est pas systématiquement appropriée. Par exemple pour diviser 300 000 par 40, la division de fer boucle 18 fois, alors que commencer directement par la division d’or donne le raisonnement suivant :

  • 3 est plus petit que 4 mais 30 dépasse de peu 28 qui est dans la table de 4. Bref, 7×4=28
  • donc 7×40=280
  • donc 70×40=2800, 700×40=28000 et 7000×40=280000, le quotient pour l’instant est 7000.
  • 300000-280000=20000 est le nouveau reste, sur lequel on recommence :
  • 5×4=20 donc 5×40=200 donc 50×40=2000 donc 500×40=20000 : le quotient est maintenant 7000+500=7500, et le reste est 20000-20000=0, on a donc fini la division (d’or) !

6

On arrive ensuite à des divisions par des nombres à deux chiffres significatifs. Par exemple

  • 1000÷25
  • 4000÷12
  • 6000÷32
  • 30000÷320
  • 7060÷64

etc, à pratiquer durant le second semestre de CM2, en privilégiant la verbalisation (élève faisant le corrigé au tableau), le travail collaboratif (remise d’un résumé par un groupe d’élèves, la répétitivité (une séance d’abaque de Gerbert au minimum par semaine) et la liaison CM2/6e (échanges entre élèves de CM2 et de 6 sur l’abaque de Gerbert). Noter que les carolingiens étant au programme d’histoire en cycle 3, il est possible de faire la liaison avec le personnage de Gerbert, dont les activités géopolitiques ont précipité la fin des carolingiens.

Par exemple, voici comment on effectue la division de fer pour diviser 7000 par 16 : le diviseur opératoire est 20, et la « différence » est 20-16=4. On va donc, à chaque étape, diviser par 20 et multiplier par 4. Le reste est initialement égal au dividende 7000.

  1. 7÷2=3+1/2 donc on coupe les 7000 en 6000+1000 (qu’on réserve) ; comme 6÷2=3, 60÷20=3, 600÷20=30 et 6000÷20=300 (quotient partiel).
  2. 3×4=12 donc 300×4=1200, qu’on ajoute aux 1000 réservés pour avoir le nouveau reste qui est 2200=2000+200. On réserve 200 et on divise 2000.
  3. 2000÷20=100 (2nd quotient partiel).
  4. 100×4=400, qu’on ajoute aux 200 réservés pour avoir le nouveau reste 600.
  5. 600÷20=30 (3e quotient partiel).
  6. 30×4=120 qui est le nouveau reste.
  7. 120÷20=6 (4e quotient partiel).
  8. 6×4=24=20+4. On réserve 4 et on divise 20.
  9. 20÷20=1 (5e quotient partiel).
  10. 1×4=4, à ajouter aux 4 réservés pour avoir le reste 8.
  11. 8 est plus petit que 20, on passe donc à la division d’or. Mais 8 est aussi plus petit que 16 et la division est donc finie.

Le quotient est donc 300+10+30+6+1=347, et le reste est 8. Autrement dit, 7000÷16=347+8/16.

Quand on est familiarisé avec les fractions, on peut remplacer 8/16 par 1/2 et le résultat précédent s’écrit 347+1/2 ou 347+0,5=347,5.

7

On se propose ici de refaire la division de 7000 par 16, mais cette fois-ci selon ce que Chasles appelait le « procédé actuel » (division d’or). Il faut pour cela connaître la table de 16 :

  1. Comme 2×8=16, 4×16=4×2×8=8×8=64. Donc 40×16=640 et 400×16=6400, qu’il faut maintenant soustraire à 7000 (quotient actuel : 400).
  2. 7000=6000+1000=6000+600+400 donc 7000-6400=600 (reste actuel).
  3. On a vu ci-dessus que 40×16=640 qui est plus que le reste 600 donc 40 c’est trop. On essaye avec 30 : 3×16=3×2×8=6×8=48 donc 30×16=480, à soustraire à 600 (quotient actuel : 400+30=430).
  4. 600=500+100=500+20+80 donc 600-480=500-400+20=120 qui est le nouveau reste.
  5. On a vu que 4×16=64 et 3×16=48 donc 7×16=64+48=112. Le quotient devient donc 430+7=437, et il faut encore soustraire 112 de 120.
  6. 120-112=20-12=8 : le reste 8 est plus petit que 16 donc la division euclidienne est terminée, avec un quotient de 437 et un reste de 8.
  7. Mais emporté par son élan, ou distrait, un élève pourrait comme le suggère Chasles, continuer, en imaginant un zéro à droite du reste 8 et en considérant le reste comme un 80 décalé, il chercherait à diviser 80 par 16.
  8. Comme 16=2×8, 5×16=5×2×8=10×8=80 justement. On rajoute un chiffre 5 dans le quotient (mais comme il est après les unités, on met une virgule et le quotient devient 437,5).
  9. Comme 0,5×16=8, en soustrayant ce 8 au reste 8, il n’y a plus de reste et cette fois-ci la division est vraiment terminée.

Gerbert et Bernelin évoquent cette possibilité de continuer la division pour obtenir des fractions de l’unité, mais à leur époque le système monétaire n’utilisait pas la base 10 et il a fallu attendre la révolution française (800 ans après Gerbert) pour que les nombres décimaux puissent être utilisés dans des situations concrètes. Adélard par exemple n’envisageait pas de couper des poires en morceaux...

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Il est temps maintenant de diviser par des nombres à 3 chiffres (a priori plutôt en 6e). Gerbert parle de nombres sans dizaines comme 606 qu’on a déjà traité dans le détail plus haut. On va donc essayer plutôt une division par 875, et on va utiliser la division de fer pour cela. Pour diviser 47 000 par 875, on va donc commencer par calculer l’arrondi supérieur de 875 (c’est 1 000) puis la différence entre 1 000 et 875 : c’est 125 qui servira de multiplicateur pour calculer les restes successifs. Le reste est donc initialisé à 47 000 = 40 000 + 7 000.

  1. On divise 40 000 par 1 000, le quotient est 40 (1er quotient partiel).
  2. On multiplie 40 par 125, le produit est 5 000 à ajouter aux 7 000 réservés d’avant : la somme (nouveau reste) est 12 000.
  3. On réserve 2 000 et on divise 10 000 par 1 000, le quotient est 10 (2e quotient partiel).
  4. On multiplie 10 par 125, le produit est 1 250 (à ajouter aux 2 000 réservés pour avoir le nouveau reste 3 250).
  5. On réserve 250 et on divise 3 000 par 1 000 : le 3e quotient partiel est 3.
  6. On multiplie 3 par 125, le produit 375 doit être ajouté aux 250 réservés pour avoir le reste qui est 625.
  7. 625 est plus petit que 875 donc la division est terminée : reste 625 et quotient 40+10+3=53.
  8. Mais si on oublie que c’est terminé on peut continuer, en voyant 625 comme le dixième de 6 250. Or 7×875=6 125 est à peine plus petit. Le quotient augmente alors de 0,7 unité (on rajoute un jeton 7 à droite des unités), et on soustrait 612,5 au reste qui devient 12,5.
  9. Et ce n’est pas tout ! On peut encore voir 12,5 comme le centième de 1250 qui peut aussi être divisé par 875 : le quotient devient 53,7+0,01=53,71 et le reste est diminué de 8,75, la différence 3,75 étant le nouveau reste.
  10. On peut continuer encore, en voyant 3,75 comme le millième de 3 750 que l’on divise par 875 : sachant que 4×875=3 500, on en déduit que 0,004×875=3,5 que l’on soustrait à 3,75 pour avoir un reste de 0,25, etc.

L’abaque de Gerbert, conçu pour effectuer des calculs sur des nombres entiers, peut servir également, non seulement à représenter des nombres décimaux, mais même à effectuer des calculs dessus :

Décimaux

Pour représenter des nombres décimaux :

Addition

Pour additionner des nombres décimaux :

Soustraction

Deux manières de soustraire deux nombres décimaux :

La seconde (addition du complément à 10), portée en binaire, est au programme de NSI en 1re.

Multiplication

Voici un exemple de multiplication menée sur l’abaque de Gerbert :

Division

On peut même diviser deux nombres décimaux entre eux :

Ceci dit, comme diviser 12,8 par 2,56 revient au même que diviser 128 par 15,6 ou diviser 1280 par 256, on en revient à du déjà vu (en or ou en fer).


Conclusion

Avec l’abaque de Gerbert

  • les élèves manipulent des jetons au cours du calcul,
  • la verbalisation est nécessaire durant tout le calcul (expliquer ce qu’on fait mais aussi pourquoi on le fait),
  • il est possible de faire beaucoup d’opérations en peu de temps (exercices répétitifs),
  • on mobilise les multiplications et divisions par 10, 100, 1000 ainsi que les multiplications par un nombre à un chiffre et les soustractions, quand on effectue des divisions,
  • on peut explorer l’algorithme de division de fer qui ne nécessite qu’une seule soustraction,
  • on n’a pas besoin du chiffre zéro,
  • les élèves dys voient les colonnes (matérialisées par des traits verticaux),
  • on fait le lien avec le cours d’histoire (les carolingiens...)

Mais utiliser l’abaque de Gerbert pour rendre les nombres décimaux moins abstraits, n’est guère possible qu’au cours d’une séquence pédagogique se déroulant sur plusieurs années (de préférence du CE2 à la 6e). La bonne nouvelle c’est qu’il n’y a pas besoin de beaucoup de matériel : des jetons numérotés, et un tableau de ce genre :

12 colonnes 6 colonnes
Abaque de Gerbert (verso)
Abaque de Gerbert (recto)

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