Solutions en quête de problèmes

Trouver ce que font ces algorithmes
vendredi 17 juillet 2009
par  Alain BUSSER

Il va de soi que donner ce genre d’exercices en Seconde, au moins en devoir maison, est totalement dans l’esprit du programme de Seconde (en tout cas, la partie du programme qui parle de programmes...).

Les exemples ci-dessous sont écrits dans le langage JavaScript francisé de cet excellent outil, sur lequel on peut les tester. Ils servent surtout à montrer l’importance des commentaires dans un programme...

Quelles sont les propriétés des trois nombres ?

Donc, que fait ce programme ? Il calcule des nombres mais lesquels ?

  1. var triplets=new tableau("a","b","c");
  2. for (p=1;p<=20;p++){
  3.   for (q=1;q<p;q++){
  4.     a=p*p-q*q;
  5.     b=2*p*q;
  6.     c=p*p+q*q
  7.     triplets.ajouter(a,b,c);
  8.   }
  9. }

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Que représente le deuxième nombre ?

Ce programme remplit un tableau ; la première colonne représente des sommes de monnaie inférieures à 1 €. Mais que représentent les nombres entiers de la deuxième colonne ?

  1. var boulanger=new tableau("Sommes","Nombres");
  2. var somme=new Array();
  3. somme.ElementN=100;
  4. somme[0]=1;
  5. for(n=1;n<100;n++){
  6. if(n<=1){somme[n]=somme[n-1];}
  7.   else{
  8.   if(n<=2){somme[n]=somme[n-1]+somme[n-2];}
  9.     else{
  10.     if(n<=4){somme[n]=somme[n-1]+somme[n-2]-somme[n-3];}
  11.       else{
  12.       if(n<=5){somme[n]=somme[n-1]+somme[n-2]-somme[n-3]+somme[n-5];}
  13.         else{
  14.         if(n<=6){somme[n]=somme[n-1]+somme[n-2]-somme[n-3]+somme[n-5]-somme[n-6];}
  15.           else{
  16.           if(n<=7){somme[n]=somme[n-1]+somme[n-2]-somme[n-3]+somme[n-5]-somme[n-6]-somme[n-7];}
  17.             else{
  18.               somme[n]=somme[n-1]+somme[n-2]-somme[n-3]+somme[n-5]-somme[n-6]-somme[n-7]+somme[n-8];
  19.             }
  20.           }
  21.         }
  22.       }
  23.     }
  24.   }
  25.   boulanger.ajouter(n/100,somme[n]);
  26. }

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Quel est ce nombre ?

Ce programme calcule 8400 décimales d’un nombre mystérieux. Quel est ce nombre ?

  1. var retenue=0;
  2. tableau=new Array(8401);
  3. for (i=0;i<=8400;i++) {tableau[i]=2000;}
  4. for (j=600;j>0;j--) {
  5.   resultat=0;
  6.   for (i=j*14;i>0;i--) {
  7.     tmp = (resultat*i + tableau[i]*10000);
  8.     resultat=tmp/(2*i-1);
  9.     tableau[i]=tmp%(2*i-1);
  10.   }
  11.   afficher(retenue+resultat/10000);
  12.   retenue=resultat%10000;
  13. }

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Mais pourquoi ?

La question n’est pas tant « qu’est-ce qu’il calcule » puisque le résultat est plutôt nul mais « pourquoi trouve-t-on ceci » :

  1. a=demander("Entrer un premier nombre :");
  2. b=demander("Entrer un deuxième nombre :");
  3. var som=a+b;
  4. var diff=a-b;
  5. var prod=som*diff;
  6. var asquare=a*a;
  7. var bsquare=b*b;
  8. var diffcar=asquare-bsquare;
  9. afficher("On trouve ",prod-diffcar);

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Quel est cet outil ?

Ce programme calcule un très vieil outil mais lequel ?

  1. var brahmagupta=new tableau("Je calcule","mais quoi?");
  2. var s=225/3438;
  3. var c=2*Math.sqrt(1-s*s);
  4. var a=0;
  5. var b=s;
  6. brahmagupta.ajouter(0+"°",a.toFixed(4));
  7. brahmagupta.ajouter(3.75+"°",b.toFixed(4));
  8. for(i=7.5;i<=90;i+=3.75){
  9.   var t=c*b-a;
  10.   brahmagupta.ajouter(i+"°",t.toFixed(4));
  11.   a=b;
  12.   b=t;
  13. }

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Mais qu’est-ce qu’il fait ?

Ce programme calcule deux nombres entiers ; que représentent-ils ?

  1. var y=demander("En quelle année ?");
  2. var c=Math.floor(y/100);
  3. var n=y%19;
  4. var k=Math.floor((c-17)/25);
  5. var i =c-Math.floor(c/4)-Math.floor((c-k)/3)+19*n+15;
  6. i=i%30;
  7. i=i-Math.floor(i/28)*(1-Math.floor(i/28)*Math.floor(29/(i+1))*Math.floor((21-n)/11));
  8. var j=y+Math.floor(y/4)+i+2-c+Math.floor(c/4);
  9. j=j%7;
  10. var l=i-j;
  11. var m=3+Math.floor((l+40)/44);
  12. var d=l+28-31*Math.floor(m/4);
  13. afficher("C'est le",d,"/",m);

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Commentaires

Logo de Alain Busser
mardi 11 août 2009 à 15h32 - par  Alain Busser

Un exemple d’exercice de niveau Seconde se trouve sur la page 2 du tutoriel d’Algobox : http://www.xm1math.net/algobox/tuto...
Un autre est sur le comparatif d’Emmanuel Ostenne : http://emmanuel.ostenne.free.fr/mep...

Ce sujets se prêtent bien à des TP ou DM (l’élève peut expérimenter et regarder ce que ça donne), mais aussi à des DS (l’élève doit alors « se mettre dans la peau de l’ordinateur »).
Un échange de tels exemples entre enseignants bénéficierait à tous (sujets zéro ?)

Concernant Algobox, il est libre, multiplateforme et en français. Et on programme non pas en écrivant des instructions au clavier, mais en choisissant des instructions dans un menu piloté par la souris. Seulement il faut déclarer les variables avant de pouvoir les utiliser (comme en Pascal ou en Scratch entre autres) ce qui peut être ressenti comme un inconvénient pour certains. Pour moi c’est plutôt un avantage : Essayer après avoir entré « x=3 » en Python, de calculer l’inverse de x puis d’expliquer aux élèves pourquoi on trouve 0...

vendredi 31 juillet 2009 à 03h34

Ces exemples sont 10 fois trop compliqués pour des élèves de seconde qui n’ont jamais fait de programmation de leur vie. Quel pourcentage d’élèves (et de profs) sont capables de répondre correctement ?

Pour info, voilà ce que disent les IPR de Lille à propos de l’algorithmique en seconde (lien) :

Comme certains d’entre vous le soulignent, il faut rester très modeste sur l’algorithmique. Les algorithmes sont étudiés/réalisés uniquement dans le cadre de la résolution des problèmes mathématiques abordés avec les élèves.
Les contenus du programme de seconde sont valables pour toute la scolarité au lycée, et donc leurs apprentissages sont à étaler durant les trois années scolaires. Il n’y aura pas d’autres notions en première et en terminale, si ce n’est bien sur le degré de complexité qui pourra évoluer. Les attendus à la fin de la terminale :
* Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie).
Par exemple, les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables d’écrire une formule permettant un calcul ; d’écrire un programme calculant et donnant la valeur d’une fonction ;
* Boucle et itérateur, instruction conditionnelle
Toujours dans le cadre d’une résolution de problèmes, on attend des élèves qu’ils sachent programmer un calcul itératif, (le nombre d’itérations étant donné) et programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucles conditionnelle.
Ces informations devraient permettre de bien comprendre la modestie attendue, même si l’algorithmique peut être présente souvent lors des différents chapitres abordés en seconde, mais surtout en restant simple.