La logique mathématique au lycée

Dispositif 09A0280536 - Module 12680
lundi 31 août 2009
par  Dominique TOURNÈS

Descriptif du stage de logique organisé en décembre 2009 par l’inspection pédagogique régionale de mathématiques et l’IREM dans le cadre de la mise en place des nouveaux programmes de Seconde.

Descriptif du stage

Dates et lieux :

- Lundi 30 novembre et mardi 1er décembre, 9 h-12 h et 14 h-17 h (lycée de Bellepierre, Saint-Denis).
- Jeudi 3 décembre et vendredi 4 décembre, 9 h-12 h et 14 h-17 h (lycée Antoine-Roussin, Saint-Louis).

Objectifs :

- Familiariser les collègues avec quelques notions de base de logique.
- Réfléchir à la manière de présenter à des élèves de lycée quelques outils utiles
à une meilleure appréhension du langage et du raisonnement mathématiques.

Contenus :

Langage mathématique « naïf ». Variables muettes/parlantes. Mutifications explicites/implicites. Connecteurs, quantificateurs. Difficultés liées à l’implication. Syntaxe/sémantique. Théories
axiomatiques. Preuves.

On évoquera éventuellement les notions d’indécidabilité et d’incomplétude ainsi que quelques
rudiments de cardinalité.

Modalités du stage :

S’agissant d’un sujet rarement abordé dans la formation initiale des professeurs de
mathématiques, et vu la brièveté du stage, celui-ci prendra essentiellement la forme d’un cours au sens traditionnel. Mais il va de soi que les participants seront mis à contribution pour réfléchir à des exercices et étudier des situations de classe où des questions de logique trouvent naturellement leur place.

Présentation de René Cori

-  Maître de conférences de mathématiques à l’université Paris Diderot (Paris 7).
- Membre de l’équipe de logique mathématique (CNRS).
- Co-auteur, avec Daniel Lascar, d’un manuel de logique pour la licence et le master (voir ci-dessous les couvertures des deux volumes).
- Directeur de l’IREM de Paris 7 de 2004 à 2008.
- Président de l’ADIREM de 2006 à 2008.
- A toujours eu une activité importante en matière de formation des enseignants et a participé régulièrement aux jurys du CAPES externe et des agrégations interne et externe.


Rappel des contenus de logique dans les nouveaux programmes du lycée

Extraits du programme de Seconde pour la rentrée 2009, publié sur ÉduSCOL :

Raisonnement et langage mathématiques

Le développement de l’argumentation et l’ entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée. À l’issue de la seconde, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant et, par exemple, à distinguer implication mathématique et causalité. Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne doivent pas faire l’objet de cours spécifiques mais doivent prendre naturellement leur place dans tous les chapitres du programme. De même, le vocabulaire et les notations mathématiques ne doivent pas être fixés d’emblée ni faire l’objet de séquences spécifiques mais doivent être introduits au cours du traitement d’une question en fonction de leur utilité. Comme les éléments de logique
mathématique, les notations et le vocabulaire mathématiques sont à considérer comme des conquêtes de l’enseignement et non comme des points de départ. Pour autant, ils font pleinement partie du programme : les objectifs figurent, avec ceux de la logique, à la fin du programme.

Notations et raisonnement mathématiques (objectifs pour le lycée)

Cette rubrique, consacrée à l’apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l’objet de séances de cours spécifiques mais doit être répartie sur toute l’année scolaire.

  • Notations mathématiques

Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant : $\in$, $\subset$, $\cup$, $\cap$ ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles.

Pour le complémentaire d’un ensemble A, on utilise la notation des probabilités $\overline{A}$.

  • Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur des exemples :
    • à utiliser correctement les connecteurs logiques « et », « ou » et à distinguer leur sens des sens courants de « et », « ou » dans le langage usuel ;
    • à utiliser à bon escient les quantificateurs universel, existentiel (les symboles $\forall$, $\exists$ ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulièrement, dans les propositions conditionnelles ;
    • à distinguer, dans le cas d’une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ;
    • à utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire », « condition suffisante » ;
    • à formuler la négation d’une proposition ;
    • à utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ;
    • à reconnaître et à utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde.

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