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lundi 29 mars 2004
par  Hourya SINACEUR

L’infini mathématique

Nous remercions vivement Mme Hourya Sinaceur, qui nous a généreusement autorisés à reproduire son article sur l’infini mathématique paru dans le Dictionnaire de philosophie et d’histoire des sciences.

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vendredi 12 novembre 2010 à 11h47 - par  Marc JAMBON

Infini potentiel et infini actuel

Il n’est pas si évident de formaliser la distinction entre l’infini potentiel et l’infini actuel cités ci-dessus.
Je propose d’illustrer cette distinction par la perception différente qu’ont de l’infini les mathématiques classiques d’une part et intuitionnistes d’autre part.

Dans tout ce qui suit (A(n)) désigne un suite indexée sur N prenant les seules valeurs 0 ou 1, on peut l’appeler « suite logique ».

Dire : (pour tout n A(n) = 0 est vrai) « ou exclusif » (il existe n tel que A(n) = 1) s’appuie sur le tiers-exclu classique. Pour pouvoir répondre effectivement à la question, il faudrait faire une infinité de tests, en ce sens, le tiers exclu classique fait appel à l’infini actuel.

L.E. J. Brouwer fondateur de l’Intuitionnisme n’accepte que l’infini potentiel, il a été amené à refuser le tiers-exclu, mais aussi, et là, c’est moins connu, il propose un nouvel énoncé, connu sous le nom de « Fan Theorem » ou « Theorème de l’Éventail » dont je ne retiens qu’une version simplifiée.
Si on dispose d’un algorithme qui à toute suite logique (A(n)) fait correpondre un nombre entier naturel, alors ce nombre entier ne dépend que d’un nombre fini de termes de la suite. Cet énoncé est acceptable parce que, à un instant donné, on ne dispose effectivement que d’un nombre fini de termes de la dite suite, c’est l’infini potentiel.

CeThéorème de l’Éventail a été, historiquement, d’abord accepté comme conséquence des principes de Brouwer puis démontré pour une conception convenable de la notion d’algorithme. Voir : REFLEXION SUR LA NOTION DE CALCUL ET D’ALGORITHME
http://www.reunion.iufm.fr/Recherch...

L’énoncé simplifié ci-dessus s’oppose au tiers-exclu au sens suivant : Il n’existe pas d’algorithme qui à toute suite (A(n)), ferait correspondre la valeur VRAI lorsque pour tout n A(n) = 0 et la valeur FAUX lorsque il existe n tel que A(n) = 1 (il suffit pour cela d’identifier VRAI à 0 et FAUX à 1).

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