Abaque de Pouchet pour la multiplication

mercredi 23 septembre 2009
par  Alain BUSSER

La représentation graphique de la fonction $(x,y) \mapsto xy$ est un paraboloïde hyperbolique dont wims fournit l’image suivante :

Ainsi, dans l’espace, pour calculer graphiquement le produit de deux nombres $x$ et $y$, il « suffit » de repérer $x$ sur l’axe des abscisses et $y$ sur l’axe des ordonnées, puis, à l’intersection des parallèles à ces axes menées par ces points, repérer le point de coordonnées $(x ;y ;0)$. Par celui-ci, la verticale (parallèle à l’axe des $z$) coupe le paraboloïde hyperbolique au point de coordonnées $(x ;y ;xy)$ dont il suffit alors de lire la hauteur (ou cote) sur l’axe des $z$. Le fichier est téléchargeable ci-dessous (fichier « PH dynamique »). Une fois ouvert sous CaRMetal (patience !) il se manipule de façon plutôt fluide compte tenu de sa taille. En voici une copie d’écran :

PH dynamique

Pour la maniabilité des figures, on cherche une représentation plane, obtenue en projetant les hyperboles ci-dessus sur le plan $z=0$ :

PH projeté

Si on regarde le paraboloïde hyperbolique d’au-dessus, on obtient la figure plane suivante « abaque de Pouchet dynamique » téléchargeable ci-dessous, et elle aussi longue à ouvrir :

Voici l’abaque :

abaque de Pouchet dynamique

Cet abaque de Pouchet permet de calculer graphiquement un produit. Ci-dessous on peut télécharger la version pdf, prévue pour être agrandie en A3 par la photocopieuse (donc avec un coefficient de 141%), que l’on peut manipuler en classe avec deux équerres, l’une pour l’axe des abscisses, l’autre pour l’axe des ordonnées. Pouchet avait préféré rajouter sur son graphique, un grillage style « papier millimétré » pour éviter le recours à ces équerres, mais ceci alourdirait encore la figure, qui est déjà assez chargée avec 100 arcs d’hyperboles (dont 1, réduit à un point).

Le fichier pdf a été obtenu en écrivant un petit programme dans le langage Asymptote.

Voici ce programme :

Les paramètres les plus intéressants à modifier sont les suivants :

  • h est la largeur des graduations sur les axes de coordonnées (celle qui est réglable par curseur dans la version CaRMetal).
  • unitsize conditionne la taille de l’image.
  • Le 0.2 dans la définition de thin stipule que les traits sont tracés avec une épaisseur du cinquième de celle du trait normal.

Documents joints

Abaque de Pouchet à imprimer et agrandir

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