Nomogramme pour la moyenne harmonique

samedi 26 septembre 2009
par  Alain BUSSER

Le CarScript suivant est basé sur des boucles à nombre prédéterminé d’exécutions, donc a priori réalisable par des élèves de Seconde assez tôt dans l’année :

  1. //ce CarScript est libre, placé
  2. //sous license CeCILL-B (non, pas 2000):
  3. //http://www.cecill.info/licences/Licence_CeCILL-B_V1-fr.html
  4. //auteur: Alain Busser
  5. //Date: Septembre 2009
  6. //
  7. o=Point(0,0);SetHide(o,true);
  8. for(n=0;n<=10;n++){
  9.         a=Point(n,0.1);SetHide(a,true);
  10.         b=Point(n,-0.1);SetShowName(b,true);SetPointType(b,"point");SetAlias(b,n);
  11.         s=Segment(a,b);SetColor(s,"blue");
  12. }
  13. a=Point(10,0);SetHide(a,true);
  14. s=Segment(o,a);SetColor(s,"blue");
  15. for(n=0;n<=10;n++){
  16.         a=Point(-0.1,n);SetHide(a,true);
  17.         b=Point(0.1,n);SetShowName(b,true);SetPointType(b,"point");SetAlias(b,n);
  18.         s=Segment(a,b);SetColor(s,"cyan");
  19. }
  20. a=Point(0,10);SetHide(a,true);
  21. s=Segment(o,a);SetColor(s,"cyan");
  22. for(n=0;n<=10;n++){
  23.         a=Point(n/2-0.1,n/2+0.1);SetHide(a,true);
  24.         b=Point(n/2+0.1,n/2-0.1);SetShowName(b,true);SetPointType(b,"point");SetAlias(b,n);
  25.         s=Segment(a,b);SetColor(s,"red");
  26. }
  27. a=Point(5,5);SetHide(a,true);
  28. s=Segment(o,a);SetColor(s,"red");

Télécharger

Il dessine des segments gradués dont une version légèrement améliorée est téléchargeable ici :

le nomogramme au format CaRMetal

Comme l’indique le titre de cet article, et comme on peut le vérifier sur la figure ci-dessus, ce nomogramme calcule la moyenne harmonique de deux nombres compris entre 0 et 10, et choisis sur les axes de coordonnées (le repère est orthonormé bien que ce ne soit pas nécessaire).

La version papier est téléchargeable ci-dessous, au format pdf. Elle est au format A4 et destinée à être agrandie en A3.

Elle a été créée avec la traduction du CarScript ci-dessus dans le langage Asymptote.

Le paramètre h règle la longueur des traits qui servent de graduation. Ces traits sont 5 fois plus fins que le trait normal à cause du facteur 0,2 dans la définition du pinceau « thin ». Enfin l’unité graphique a été fixée par tâtonnements à 1,75 cm (paramètre « unitsize ») pour entrer pile dans la feuille.

Pour utiliser la version papier de ce nomogramme, il faut une règle :

Par exemple si on veut calculer graphiquement la moyenne harmonique de 3 et 6, on place la règle de manière qu’elle passe par la graduation 3 sur l’axe des abscisses et la graduation 6 sur l’axe des ordonnées (ou l’inverse d’ailleurs). La règle passe alors par la graduation 4 de la bissectrice, ce qui veut dire que la moyenne harmonique de 3 et 6 est environ 4.

En fait elle est exactement

En fait elle est exactement 4.

En effet l’inverse de 3 est $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ et l’inverse de 6 est $\frac{1}{6}$. Leur somme est $\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ donc leur moyenne est la moitié de $\frac{1}{2}$ soit $\frac{1}{4}$ dont l’inverse est bien 4.

En pratique un rectangle de transparent avec un trait dessiné dessus est plus pratique à utiliser que la règle.


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