Nomogramme de Clark basé sur le folium

mardi 6 octobre 2009
par Alain BUSSER

Tout nomogramme pour la multiplication doit être formé de trois courbes, une pour chaque facteur et une pour le produit. Le nomogramme circulaire et le multiplicateur de Möbius utilisaient deux morceaux d’une même conique et se contentaient donc d’une courbe et d’une droite.

Ici ce sont trois morceaux d’une cubique qui donnent donc un nomogramme complet sur une seule courbe.

Ce qu’il y a de bien avec une cubique, c’est qu’on peut définir géométriquement une loi de groupe dessus.

Ce qu’il y a de bien avec le folium, représenté paramétriquement par

$$ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{t}{1+t^3}\\ & \\ y=\frac{t^2}{1+t^3}\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.$$

c’est que la loi de groupe s’y exprime facilement avec la multiplication. En effet, la droite qui passe par les points de paramètres $t_1$ et $t_2$ recoupe le folium en le point de paramètre $t_1 \times t_2$.

Le folium permet donc d’obtenir un nomogramme de multiplication :


le folium au format CaRMetal

Le pdf est téléchargeable ci-dessous.

Il a été obtenu en traduisant le CarScript de la figure ci-dessus en Asymptote.

//ce script Asymptote est libre, placé
//sous license CeCILL-B (non, pas 2000):
//http://www.cecill.info/licences/Licence_CeCILL-B_V1-fr.html
//auteur: Alain Busser
//Date: Septembre 2009
//
real g,x,y;
real h=0.004,dx,dy,ds;
pair A,B,M,N;
unitsize(25cm);
size(20cm);
pen thin=linewidth(0.2*linewidth());
//premier facteur
for(real i=1;i<2;i=i+0.01){
x=-i*i/(1+i*i*i); y=i/(1+i*i*i);
dx=2*i*i*i-1; dy=i*i*i*i-2*i;
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy);
if(floor(i)==round(i*100)/100){
ds/=2;
}
if(floor(10*i)!=round(i*1000)/100){
ds*=2;
}
dx=dx/ds; dy=dy/ds;
A=(x-h*dx,y-h*dy);
B=(x+h*dx,y+h*dy);
draw(A--B,black+thin);
if(i==1){
label(scale(0.4)*(string) (i),A,NW,black);
}
}
for(real i=2;i<5;i=i+0.1){
x=-i*i/(1+i*i*i); y=i/(1+i*i*i);
dx=2*i*i*i-1; dy=i*i*i*i-2*i;
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy);
if(floor(i)==round(i*100)/100){
ds/=2;
}
dx=dx/ds; dy=dy/ds;
A=(x-h*dx,y-h*dy);
B=(x+h*dx,y+h*dy);
draw(A--B,black+thin);
if(round(i)==floor(i*10)/10){
label(scale(0.4)*(string) (i),A,W,black);
}
}
for(real i=5;i<=10;i=i+0.5){
x=-i*i/(1+i*i*i); y=i/(1+i*i*i);
dx=2*i*i*i-1; dy=i*i*i*i-2*i;
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy);
if(floor(i)==round(i*100)/100){
ds/=2;
}
dx=dx/ds; dy=dy/ds;
A=(x-h*dx,y-h*dy);
B=(x+h*dx,y+h*dy);
draw(A--B,black+thin);
if(round(i)==floor(i*10)/10){
label(scale(0.4)*(string) (i),A,S,black);
}
}
//autre facteur
for(real i=2;i<5;i=i+0.1){
x=i*i/(-1+i*i*i); y=i/(-1+i*i*i);
dx=2*i*i*i-1; dy=-i*i*i*i-2*i;
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy);
if(floor(i)==round(i*100)/100){
ds/=2;
}
dx=dx/ds; dy=dy/ds;
A=(x-h*dx,y-h*dy);
B=(x+h*dx,y+h*dy);
draw(A--B,black+thin);
if(round(i)==floor(i*10)/10){
label(scale(0.4)*(string) (i),A,NW,black);
}
}
for(real i=5;i<=10;i=i+0.5){
x=i*i/(-1+i*i*i); y=i/(-1+i*i*i);
dx=2*i*i*i-1; dy=-i*i*i*i-2*i;
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy);
if(floor(i)==round(i*100)/100){
ds/=2;
}
dx=dx/ds; dy=dy/ds;
A=(x-h*dx,y-h*dy);
B=(x+h*dx,y+h*dy);
draw(A--B,black+thin);
if(round(i)==floor(i*10)/10){
label(scale(0.4)*(string) (i),A,NW,black);
}
}
//produit
for(real i=1;i<2;i=i+0.01){
x=-i/(1+i*i*i); y=i*i/(1+i*i*i);
dx=i*i*i*i-2*i; dy=2*i*i*i-1;
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy);
if(floor(i)==round(i*100)/100){
ds/=2;
}
if(floor(10*i)!=round(i*1000)/100){
ds*=2;
}
dx=dx/ds; dy=dy/ds;
A=(x-h*dx,y-h*dy);
B=(x+h*dx,y+h*dy);
draw(A--B,black+thin);
if(i==1){
label(scale(0.4)*(string) (i),B,NE,black);
}
}
for(real i=2;i<5;i=i+0.1){
x=-i/(1+i*i*i); y=i*i/(1+i*i*i);
dx=i*i*i*i-2*i; dy=2*i*i*i-1;
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy);
if(floor(i)==round(i*100)/100){
ds/=2;
}
dx=dx/ds; dy=dy/ds;
A=(x-h*dx,y-h*dy);
B=(x+h*dx,y+h*dy);
draw(A--B,black+thin);
if(round(i)==floor(i*10)/10){
label(scale(0.4)*(string) (i),B,E,black);
}
}
for(real i=5;i<=10;i=i+0.5){
x=-i/(1+i*i*i); y=i*i/(1+i*i*i);
dx=i*i*i*i-2*i; dy=2*i*i*i-1;
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy);
if(floor(i)==round(i*100)/100){
ds/=2;
}
dx=dx/ds; dy=dy/ds;
A=(x-h*dx,y-h*dy);
B=(x+h*dx,y+h*dy);
draw(A--B,black+thin);
if(round(i)==floor(i*10)/10){
label(scale(0.4)*(string) (i),B,E,black);
}
}
for(int i=11;i<20;i=i+1){
x=-i/(1+i*i*i); y=i*i/(1+i*i*i);
dx=i*i*i*i-2*i; dy=2*i*i*i-1;
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy);
ds*=2;
dx=dx/ds; dy=dy/ds;
A=(x-h*dx,y-h*dy);
B=(x+h*dx,y+h*dy);
draw(A--B,black+thin);
}
for(int i=20;i<=100;i=i+10){
x=-i/(1+i*i*i); y=i*i/(1+i*i*i);
dx=i*i*i*i-2*i; dy=2*i*i*i-1;
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy);
if(floor(i/50)==round(i*10)/500){
ds/=2;
}
dx=dx/ds; dy=dy/ds;
A=(x-h*dx,y-h*dy);
B=(x+h*dx,y+h*dy);
draw(A--B,black+thin);
if(round(i/50)==round(i*10)/500){
label(scale(0.4)*(string) (i),B,E,black);
}
}
//folium
g=-0.5;
x=-g/(1+g*g*g); y=g*g/(1+g*g*g);
A=(x,y);
for(real i=-0.5;i<=0;i=i+0.05){
x=-i/(1+i*i*i); y=i*i/(1+i*i*i);
B=(x,y);
draw(A--B,black+thin);
A=B;
}
for(real i=0;i<=2;i=i+0.01){
x=-i/(1+i*i*i); y=i*i/(1+i*i*i);
B=(x,y);
draw(A--B,black+thin);
A=B;
}
for(real i=2;i<=10;i=i+0.1){
x=-i/(1+i*i*i); y=i*i/(1+i*i*i);
B=(x,y);
draw(A--B,black+thin);
A=B;
}
for(int i=10;i<=100;i=i+10){
x=-i/(1+i*i*i); y=i*i/(1+i*i*i);
B=(x,y);
draw(A--B,black+thin);
A=B;
}
for(int i=100;i<=1000;i=i+100){
x=-i/(1+i*i*i); y=i*i/(1+i*i*i);
B=(x,y);
draw(A--B,black+thin);
A=B;
}
B=(0,0);
draw(A--B,black+thin);

Le paramètre h correspond à la longueur des graduations. Unitsize donne la taille générale de la figure.

Il a fallu calculer et normaliser des vecteurs normaux pour avoir des graduations perpendiculaires sur le folium, et mettre beaucoup de boucles pour gérer l’aspect « multiéchelles » de la figure.

Documents joints


le folium, à agrandir en A3

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