Règles à calcul

vendredi 9 octobre 2009
par  Alain BUSSER

Dans cet atelier on étudie des instruments de calcul basés sur un graphique statique (abaque ou nomogramme). La règle à calcul est une machine mécanique. Difficile toutefois d’éviter d’en parler vu son importance. Et elle aussi a été supplantée par les instruments de calcul numérique (« digital »).

Règle à calcul traditionnelle

Comme une composée de translations de vecteurs colinéaires matérialise une addition de réels, faire coulisser deux règles graduées logarithmiquement permet de calculer graphiquement des produits de nombres positifs :

règle à calcul en CaRMetal

Il a été créé par un CarScript.

Appliqué à une figure comprenant un point A (origine fixe), un point B (extrémité mobile) et un point C (origine de la règle coulissante) ainsi qu’un curseur h pour la longueur des graduations, le script suivant :

engendre la règle à calcul ci-dessus.

Pour calculer le produit $12 \times 13$, on estime mentalement (sans la règle) son ordre de grandeur ($10 \times 10 =100$) ce qui ramène à la multiplication $1,2 \times 1,3$ qui sera à la fin multiplié par 100. Ensuite on place l’origine de la règle mobile (en rouge) sur la graduation 1,2 et en face du 1,3 rouge on voit environ 1,55. D’où le produit (après multiplication par 100) $12\times 13 \simeq 155$. Ce qui révèle que, comme tous les instruments de calcul graphique, la règle à calcul est à la fois plus rapide et moins précise que la calculatrice [1].

Par contre pour calculer $8 \times 7$ on a un problème : Une fois la graduation 1 rouge mise face au 8 bleu, la règle rouge est presque entièrement en-dehors de la figure et il devient impossible de lire ce qui est en face de la graduation 7 rouge. Une solution serait de doubler l’une des règles en longueur comme c’est fait dans cet article. Une autre est de « remplacer 1 par 10 » : On fait glisser la règle rouge vers la gauche pour que le 8 bleu soit non plus en face du 1 rouge mais en face du 10 rouge. Alors en face du 7 rouge on voit en bleu un 5,6 bleu ce qui veut dire que $0,8 \times 7=5,6$ ce qui revient bien à $8 \times 7=56$, ce que n’importe quel collégien connaissant ses tables de multiplication par cœur sait très bien [2].


Cercle à calcul

L’argument ci-dessus revient à raisonner modulo le logarithme de 10. Comme en plus l’addition de nombres modulo $2 \pi$ est matérialisée par la composée de deux rotations de même centre, les graduations logarithmiques sur un cercle donnent aussi une règle à calcul :

cercle à calcul

Choisir entre les deux est essentiellement une question d’esthétique. On constate dans ce musée que de façon générale, le choix est rarement en faveur du cercle...


[1Il faut plus de 5 minutes pour démarrer un PC sous Windows...

[2Il serait intéressant de mesurer par échantillonnage la proportion de lycéens capables d’effectuer cette multiplication sans calculatrice. On risque d’avoir des surprises...


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