Intersection et réunion avec CaRMetal

Le lien entre « et » et $\cap$ n’est pas seulement important en probabilités mais aussi en logique. Pour ne pas parler de $\forall$ et consorts, il suffit de bouger un point $M$ et de regarder ce qui se passe s’il est à l’intérieur d’un cercle ou d’un autre (ou des deux) :

intersection et réunion

Comment ça marche ? Le texte « $M \in A$ » devient invisible lorsque $M$ est à l’extérieur de A (qui est un cercle) ce qui s’obtient en mettant dans l’onglet « conditionnel » du texte, à la propriété « invisible »,

Le point d’exclamation code une négation, sous CaRMetal comme dans JavaScript (entre beaucoup d’autres). On peut lire ceci par « le texte est invisible sauf si M est à l’intérieur de A ». Pour le texte concernant B c’est le même principe. Mais pour l’intersection ? Et bien pour que M soit dans $A \cap B$ il faut et il suffit que M soit à la fois dans A et dans B, ce qui se code

Après la négation, on trouve la conjonction, codée par « && » : M doit être à la fois dans A et dans B pour être dans leur intersection. Et pour la réunion, il suffit de remplacer « et » par « ou » (un trait vertical dédoublé) dans une formule analogue. Il est vivement conseillé de télécharger la figure en cliquant-droit sur le lien au bas de cet article, et de l’ouvrir avec CaRMetal pour « voir comment c’est fait ».

On peut illustrer ce premier diagramme de Venn par une situation probabiliste : On tire une carte d’un jeu de 32 ; quelle est la probabilité qu’elle soit un trèfle ou une figure ?" Ici les trèfles peuvent être représentés par A (8 cartes) et les figures par B (12 cartes). La question revient à compter les cartes qui sont bleues (les trèfles) ou rouges (les figures). Il est plus simple de compter celles qui sont les deux à la fois (elles apparaissent en mauve à cause de la composition des couleurs) : On en trouve 3, à savoir $A \cap B=\left\{Valet\clubsuit ;Dame\clubsuit ;Roi\clubsuit\right\}$

Intersection et réunion avec PovRay

Les intersections et réunions de disques, c’est bien beau, mais les intersections et réunions de boules, c’est encore mieux (Venn dans l’espace). Le logiciel k3dsurf permet de créer des intersections, sans posséder d’opérations booléennes. Voir avec ce logiciel comment ils font. Le procédé est également détaillé dans l’aide du logiciel PovRay. Or ce logiciel est muni d’un langage de script qui permet assez facilement de dessiner dans l’espace, notamment des sphères. Et il possède des opératons booléennes, écrites presque comme en Français : « intersection » et « union ».

Pour commencer, voici un code écrit en cliquant dans les menus (choix de gabarits, puis adaptation au code présent).

Le rendu en 320*240 pixels donne ceci (en quelques secondes) :

(note : En modifiant les coordonnées des centres des sphères, on aborde discrètement les notions de coordonnées dans l’espace, de translations dans l’espace. Et en modifiant les rayons des sphères, on révise la définition d’une sphère. Les objets « plan », « cylindre », « cube » et « cone » sont faciles à créer et manipuler sous PovRay).

Dans un second temps, on englobe les deux sphères avec des accolades, précédées de « union » pour avoir la réunion des deux sphères.

Le rendu fait penser à une molécule diatomique :

On quitte le domaine de la chimie pour l’optique (ou la botanique) :

L’intersection de deux boules est une lentille !

Cette activité a été menée en Seconde il y a quelques années et dure environ une demi-heure (le reste de l’heure ayant été consacré à des représentations de droites non coplanaires sous la forme de cylindres très fins).

Inclusion avec CaRMetal

Revenons maintenant au diagramme d’Euler-Venn à deux cercles, dans le cas où le cercle rouge B est entièrement à l’intérieur du cercle bleu A (télécharger la figure en suivant le lien au bas de la page, et l’ouvrir avec CaRMetal pour voir comment on a réussi ce miracle : Il y a des cercles invisibles qui limitent le mouvement des points bleus juste assez pour empêcher que le cercle rouge puisse sortir) :

inclusion

La question est « où doit-on mettre M pour avoir $M \in B$ sans avoir $M \in A$ ? »

Ce qui mène à une définition de l’inclusion, pouvant être utile en géométrie dans l’espace (si tous les points d’une droite sont dans un plan, on dit que la droite est incluse dans le plan).

En probabilités, l’implication est représentée par l’inclusion : On dit que l’évènement $b$ implique l’évènement $a$ si $B \subset A$ ($A$ et $B$ étant les diagrammes d’Euler-Venn représentant les évènements $a$ et $b$).

La croissance de l’inclusion est effectivement à la base du fonctionnement du modus ponens : $p \rightarrow q$ signifiant que $q$ est au moins aussi vrai que $p$ donc, dès lors que $p$ est vrai, $q$ l’est aussi (dans le cas présent il faudrait remplacer « vrai » par « probable »).

Le paradoxe de l’implication formelle s’illustre bien avec cette interprétation probabiliste du raisonnement : Comme $\emptyset \subset \Omega$, on a bien « le faux implique le vrai »...

Par contre on voit que l’utilisation de l’implication en probabilités va du particulier au général « Si x=6 alors x est pair » et non comme en géométrie, du général au particulier « Si un carré est positif alors le carré de 2 est positif ».

Le cours de Seconde basé sur les diagrammes d’Euler-Venn peut être fait dès le début de l’année scolaire.

Les sens du mot « implication »

Voilà la différence entre les diagrammes d’Euler-Venn et la logique : Alors que les opérations de conjonction et disjonction ont les mêmes propriétés que leurs pendants probabilistes (intersection et réunion), l’implication ne marche pas de la même manière dans les deux cas :

• L’implication probabiliste est une relation entre ensembles (l’inclusion) ; elle n’est donc pas de la même nature que les objets sur lesquels elle porte.
• L’implication booléenne par contre est une loi de composition entre propositions ; c’est donc une proposition, qui peut très bien ne pas être vraie.

L’implication entre $b$ et $a$ est définie comme la proposition $\neg b \vee a$. Sa représentation par diagramme d’Euler-Venn est donc plus facile à faire comme le complémentaire de $b \wedge \neg a$, ce qui sur le diagramme du premier onglet, revient à dire que « b implique a » est représenté par toute la figure sauf le croissant qui est rouge sans être bleu. Quel est alors le lien avec l’inclusion ?

Dire que $B \subset A$, c’est dire que le diagramme d’Euler-Venn de l’implication ($\bar{B}\cup A$) contient toute la figure : $\bar{B}\cup A=\Omega$. Autrement dit, $b$ implique probabilistiquement $a$ lorsque la proposition $b \Rightarrow a$ a pour probabilité 1.

Il y a donc bien un lien entre les deux définitions de l’implication.

Voici comment fonctionne le modus ponens (de $p$ et $p \Rightarrow q$ on déduit $q$) en calcul booléen :

Puisque $p \Rightarrow q$ s’écrit $\neg p \vee q$, on part de la conjonction entre $p$ et $\neg p \vee q$ : $p\wedge(\neg p \vee q)$. Par distributivité de $\wedge$ par rapport à $\vee$, cette proposition peut aussi s’écrire $(p \wedge \neg p)\vee (p \wedge q)$. Or le premier terme $p \wedge \neg p$ est une antinomie (axiome du tiers exclu), qui est élément neutre pour $\vee$. Donc la proposition $(p \wedge \neg p)\vee (p \wedge q)$ se simplifie en $p \vee q$, d’où on déduit $q$ (ainsi que $p$ soit dit en passant).

C’est cette transformation des implications en disjonctions qui est à la base du langage de programmation Prolog.

Cette définition de l’implication est également source de paradoxe, celui de l’implication formelle $\bot \Rightarrow p$ : De quelque chose de faux, on peut déduire n’importe quoi. Il semble que l’implication ne soit pas réductible à une proposition, mais que dans $p \Rightarrow q$ il y a un lien plus fort, de nature sémantique.

L’équivalence entre une implication et sa contraposée se voit sur le diagramme du deuxième onglet, en regardant celui-ci en négatif : $B \subset A \Leftrightarrow \bar{A} \subset \bar{B}$.

En inventant ces diagrammes, Leonhard Euler n’avait pas en tête une théorie de la déduction : Il cherchait juste à former une cliente (des cours par correspondance) à la théorie des syllogismes, domaine traditionnellement plutôt attaché à la linguistique qu’aux mathématiques.

Il en est de même pour John Venn, qui lui aussi raisonnait en termes de syllogismes (donc sur des propositions existentielles ou universelles, donc en logique des prédicats plus qu’en logique des propositions). Et Charles Lutwidge Dodgson, le principal promoteur des diagrammes de Venn, lui aussi parle de syllogismes sans faire référence ni à la déduction mathématique, ni à la théorie des ensembles. Il a réussi à transformer la résolution de syllogismes en un jeu, en plaçant des pions sur des diagrammes de Venn (un peu précurseur de Prolog donc).

Et même George Boole semble plus concerné par les syllogismes (voir son chapitre 15) que par les diagrammes (il n’y a pas une seule figure dans son livre !).

C’est au tiers du vingtième siècle que Kolmogorov axiomatise les probabilités, se basant sur le langage de la théorie des ensembles, et donne donc un cadre théorique aux diagrammes d’Euler. Le lien avec la déduction vient par contre des statistiques avec l’inférence bayésienne, dont le principe remonte à Thomas Bayes au 18e siècle. Toutefois la démarche bayésienne formalise le raisonnement inductif et non le raisonnement déductif.