Épreuve pratique 2009, sujet 136

mercredi 4 novembre 2009
par  Alain BUSSER

Première partie : Représentation des termes des suites u et v

Puisque le réel a est quelconque, autant le faire varier avec un curseur, et un curseur infini c’est un point sur une droite. La figure de départ est la suivante :

le nombre a

Le premier terme de la suite u est représenté sous la forme du point A. Il est manipulable à la souris. Le premier terme de la suite v est représenté par le point B, et « suit le mouvement » quand on bouge A.

Pour représenter sur la figure précédente, les deux nuages de points (la suite u en bleu et en forme de « x » et la suite v en vert et en forme de « + »), le script suivant fait l’affaire :

  1. /*Programme tp 136a
  2. Correction TP 136 2009
  3. */
  4. a="A";b="B";//points initiaux
  5. for(n=1;n<=30;n=n+1){//30 points
  6.         p=Point(n,"(y_a+4*y_b)/5");
  7.         SetColor(p,"blue");
  8.         SetPointType(p,"dcross");//en forme de x
  9.         q=Point(n,"(3*y_a+2*y_b)/5");
  10.         SetColor(q,"green");
  11.         SetPointType(q,"cross");//en forme de +
  12.         a=p;
  13.         b=q;
  14. }

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Il produit la figure suivante, dans laquelle on peut instantanément faire varier a (en bougeant le point bleu) et où les termes des suites sont stockés dans les ordonnées des points) :

les suites u et v

On voit donc bien que la conjecture sur la limite commune des deux suites est indépendante de a.

Deuxième partie : La suite w

Il suffit de modifier le script précédent pour avoir la suite w (en mettant u et v sous forme de tout petits points pour ne pas gêner la visibilité de la figure). Le script est ici :

  1. /*Programme tp 136b
  2. Correction TP 136 2009
  3. */
  4. a="A";b="B";//points initiaux
  5. r=Point(0,"3*y_a+4*y_b");
  6. SetColor(r,"red");
  7. for(n=1;n<=30;n=n+1){//30 points
  8.         p=Point(n,"(y_a+4*y_b)/5");
  9.         SetColor(p,"blue");
  10.         SetPointType(p,"point");//tout petit
  11.         q=Point(n,"(3*y_a+2*y_b)/5");
  12.         SetColor(q,"green");
  13.         SetPointType(q,"point");//tout petit
  14.         a=p;
  15.         b=q;
  16.         r=Point(n,"3*y_a+4*y_b");
  17.         SetColor(r,"red");
  18.  
  19. }

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et la figure obtenue :

la suite w

On voit immédiatement que la suite w est constante, et ceci indépendamment de a.


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