Création de la macro

La fonction affine à iterer est $z\mapsto az+a$ où $a=\frac{1+i}{2}$. On construit donc le point de coordonnées (1,1) (nommé 1+i sur la figure ci-dessous) puis le milieu (nommé (1+i)/2 ci-dessous) du segment joignant celui-ci à l’origine. CaRMetal ayant nommé P3 ce point (d’affixe a), on repère ce nom pour usage ultérieur.

Ensuite on crée un point M, mobile, d’affixe $z$, puis

• avec la macro « produit » (de nombres complexes), le point dont l’affixe est $az$ (on clique successivement sur P3 puis sur M). Ce point est en rouge ci-dessous.
• avec la macro « somme » (de nombres complexes), le point M’ dont l’affixe est $az+a$ (en cliquant successivement sur le point nouvellement créé puis sur le point P3).

M’ est alors l’image de M par la similitude directe.

figure avec macro

On sélectionne alors dans le menu des macros l’option « créer une macro », et on sélectionne P3 et M comme objets initiaux, et M’ comme objet final. Enfin on nomme « simil » (sans oublier d’appuyer sur « entrée ») la macro créée.

On notera que la création de la macro est très rapide, surtout si elle est faite par un élève qui a déjà créé des macros pendant l’année scolaire.

Utilisation de la macro

Tout d’abord, une modification légère de la figure s’impose : Supprimer le point M. Désormais on peut même en JavaScript appliquer la similitude à un point M avec l’instruction suivante :

Le nuage de points est maintenant aisément créé par le script suivant :

Comme le point A0 n’a pas été fixé, on peut bien que ce soit hors sujet, déplacer celui-ci pour conjecturer que la limite de la suite ne dépend pas de A0 :

le nuage de points

Conjecture sur la limite

Avec un fichier muni de la macro simil et du point J(0 ;1) (téléchargeable ci-dessous), on peut modifier le script ci-dessus pour qu’en plus du nuage de points, on ait les distances entre ces points et J :

Le principe de ce nouveau script est de créer une expression (en (-5,-5) pour qu’elle soit en dehors de la fenêtre, et en plus elle est cachée) e puis de récupérer (en d) la valeur de cette expression, et enfin de l’affficher. Une légère modification du script ci-dessus produit le tableau que voici [1] :

On conjecture que $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \left| z_n - i\right|=0$ soit $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} z_n=i$.