Épreuve pratique 2009, sujet 76

samedi 7 novembre 2009
par  Alain BUSSER

Pour commencer la construction, on va faire un peu compliqué : fixer A en (0,0) ce qui oblige à construire le cercle de diamètre [AO] (le milieu de [AO] est représenté par une petite croix bleue, et O’ est choisi sur ce cercle). En effet, si A a pour affixe 0, il est plus facile d’exprimer une similitude de centre A.

M a été construit sur le cercle $\mathcal{C}$ de centre O passant par A.

La similitude de centre A (donc l’origine) qui transforme O en O’ a pour expression analytique $z \mapsto k z$ où $k \in \C$ est le quotient des affixes de O’ et de O. CaRMetal n’ayant pas de macro pour la division de complexes, on commence par construire le point dont l’affixe est l’inverse de celle de O (croix verte, avec la macro « inverse » des nombres complexes) puis, en marron, le point dont l’affixe est le produit de la précédente par celle de O’ (donc le quotient des affixes de O’ et O).

la figure du TP

La similitude $\mathcal{S}$ revient donc à multiplier l’affixe de M par celui du point marron. Le point construit a été renommé M’, et son lieu affiché en rouge.

Enfin la droite (MM’) est construite en cyan, et on conjecture que dans le mouvement de M sur $\mathcal{C}$, cette droite passe par un point fixe, qui est commun aux deux cercles.

Remarque : Rien ne garantit que le triangle OO’A est direct. Pour cela il eût fallu placer O’ non sur le cercle de diamètre [AO] mais sur un demi-cercle, ce qui eût compliqué la question.


B et B’

Pour construire l’image B’ de B, on fait comme ci-dessus : Avec la macro « produit de nombres complexes », on sélectionne le point marron d’affixe $k$ (construit ci-dessus) puis le point B (lui-même construit comme intersection des deux cercles), et la macro donne B’. Ensuite les deux triangles de l’énoncé ont été construits avec l’outil « polygone », et il ne reste plus qu’à conjecturer leur similitude et démontrer le tout.

la figure avec les triangles

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