Épreuve pratique 2009, sujet 61

mardi 10 novembre 2009
par  Alain BUSSER

Comme $m \in \R$, on construit un curseur infini sous la forme du point M lié à l’axe des abscisses, et $m$ est l’abscisse de M (expression égale à $x(M)$).

La fonction $x \mapsto e^{mx^2-x+m}$ est représentée en rouge et son inverse en vert.

La manipulation du point M ci-dessous permet d’émettre les conjectures voulues :

intersection des courbes

Les logiciels de géométrie dynamique n’ayant pas un comportement réversible quand on leur demande de construire un point d’intersection [1], on a évité ici de construire les points (ça ne marche que si on ne bouge pas trop M).

Pour voir quand les tangentes aux deux courbes sont les mêmes, on rajoute un point sur l’axe des abscisses, et les deux points sur les courbes ayant même abscisse ; puis par ces deux points on construit les tangentes aux courbes (macro « tangente », dans « fonctions »).

Pour mieux y voir, on a mis chaque tangente dans la même couleur que la courbe qui lui correspond.

les tangentes

En bougeant les deux points sur l’axe des abscisses on voit que la tangente aux deux courbes ne peut être commune que si elle est horizontale, ce qui était apparemment le résultat escompté (ou du moins une voie vers celui-ci).


[1voir cette thèse, page 58, ou cet article et ses liens...


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