Épreuve pratique 2009, sujet 9

samedi 14 novembre 2009
par  Alain BUSSER

Le plus pénible, c’est encore d’entrer les données. En JavaScript, on peut le faire avec des tableaux de nombres, l’un appelé $t$ pour les temps, l’autre appelé $D$ pour les densités.

Ces deux tableaux sont initialisés avec les nombres de l’énoncé.

Ensuite il suffit de créer les points dont l’abscisse est $t$ et l’ordonnée $D$ (« Dis, mère-grand, pourquoi les ordonnées ont-elles été divisées par 10 ? » - « C’est pour mieux les voir, mon enfant ») :

  1. var t=new Array(0,.1,.3,.57,.6,.7,.9,1.2,1.47,1.72,1.95);
  2. var D=new Array(10.2,11.2,13.5,17.2,17.7,19.5,23.5,30.5,39,49.2,61);
  3. for(i in t){
  4.         a=Point(t[i],D[i]/10);
  5. }

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L’exécution de ce script sous CaRMetal donne le nuage de points suivant :


Tableau

Une modification du script précédent pour, au lieu de représenter les points, calculer les variations, donne ceci :

  1. var t=new Array(0,.1,.3,.57,.6,.7,.9,1.2,1.47,1.72,1.95);
  2. var D=new Array(10.2,11.2,13.5,17.2,17.7,19.5,23.5,30.5,39,49.2,61);
  3. for(i=0;i<10;i=i+1){
  4.         Deltat=t[i+1]-t[i];
  5.         DeltaD=D[i+1]-D[i];
  6.         Println("|"+DeltaD/Deltat+"|"+DeltaD/D[i]+"|"+DeltaD/D[i]/Deltat+"|");
  7. }

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La sortie de ce programme est le tableau suivant :

$\frac{\Delta D}{\Delta t}$ $\frac{\Delta D}{D}$ $\frac{\Delta D}{D \Delta t}$
10 0.09803921568627452 0.9803921568627452
11.500000000000005 0.20535714285714293 1.0267857142857149
13.703703703703702 0.274074074074074 1.0150891632373114
16.666666666666654 0.029069767441860465 0.9689922480620147
18.00000000000001 0.10169491525423734 1.0169491525423735
19.999999999999993 0.20512820512820512 1.0256410256410253
23.33333333333334 0.2978723404255319 0.9929078014184399
31.48148148148148 0.2786885245901639 1.0321797207043106
40.80000000000001 0.2615384615384616 1.0461538461538464
51.304347826086946 0.23983739837398366 1.04277129727819

Comme $\frac{\Delta D}{D \Delta t}\simeq 1$, on cherche alors une fonction de la forme $ke^x$. Avec $k=10,2$ (valeur initiale), l’approximation n’est pas très bonne. Avec $k=9$, elle est meilleure :

  1. var t=new Array(0,.1,.3,.57,.6,.7,.9,1.2,1.47,1.72,1.95);
  2. var D=new Array(10.2,11.2,13.5,17.2,17.7,19.5,23.5,30.5,39,49.2,61);
  3. for(i in t){
  4.         a=Point(t[i],D[i]/10);
  5. }
  6. i=CartesianFunction(0,2,"9*exp(x)/10");

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