Moyennes harmoniques en Seconde

mardi 24 novembre 2009
par  Alain BUSSER

Étape préliminaire

Le TD visait à montrer comment on peut calculer graphiquement une moyenne harmonique de deux nombres, il fallait donc que les élèves de Seconde aient déjà entendu parler de moyenne harmonique...

Un devoir maison leur avait donc été donné préliminairement (révisions sur les fractions et les écritures avec radicaux, un peu d’algorithmique en passant et préparation à certains sujets de type « Rallye »).

Le sujet de ce DM peut être téléchargé en bas de cet article.

La séance

Il y a deux manières de gérer une séquence où les élèves manipulent et démontrent :

  • Soit la manipulation d’abord, et les démonstrations pour assoir les conjectures ; ce qui attend de la part des élèves un besoin spontané de justification.
  • Ou bien on démontre d’abord comment ça fonctionne, et on vérifie par une manip après coup.

C’est le premier choix qui a été fait dans le cas présent : Un TD de manip, où les nomogrammes au format A3 ont été distribués en classe, les élèves utilisant les alignements avec leur règle.

Pendant les manips, le TBI a été abondamment utilisé, avec le fichier CaRMetal téléchargeable au bas de l’article sur ce nomogramme (au bas duquel on peut également télécharger la version pdf du nomogramme qui a été distribué au début de l’heure) mais aussi avec la Ti virtuelle. En effet les élèves aiment mieux calculer une moyenne harmonique avec la calculatrice pour vérifier un calcul graphique, que pour la calculer seulement...

Plusieurs élèves ont profité de l’activité en classe pour réaliser que la moyenne harmonique est conjuguée de la moyenne arithmétique par la fonction inverse (on prend les inverses des deux nombres, on calcule la moyenne, et on prend l’inverse du résultat) ce qui n’avait pas été le cas lors du devoir maison.

À la question « qu’est-ce qu’un nomogramme ? », a été opposée la question « de quand date le premier ordinateur ? » à laquelle une seule élève de la classe connaissait la réponse. Par contre deux élèves étaient fermement persuadés que le nom de l’inventeur de l’ordinateur était Bill Gates...

La manip sur deux ou trois exemples (une moyenne harmonique entière, une décimale, et la moyenne harmonique de deux nombres égaux entre eux) il a été proposé le choix entre passer à un autre exercice (développement d’une expression, pour préparer le cours ou essayer de créer un nomogramme en JavaScript sous CaRMetal - un « CarScript »). Environ les trois quarts d’entre eux ont choisi la deuxième activité, et quelques-uns ont réussi à tracer les graduations de l’axe des ordonnées (ce qui revient à échanger les abscisses et les ordonnées à partir de l’exemple fourni avec le sujet du DM suivant, qui venait d’être distribué).

Les élèves ont visiblement été ravis de pouvoir garder le nomogramme, qu’ils considèrent comme un bel objet (ils admirent la précision des graduations).

Après le TD

Les preuves étaient à donner sous la forme d’un DM sur les fonctions affines : Vérification dans deux cas particuliers, puis la justification en calcul littéral, et pour finir le tracé des graduations par un programme (le plus motivant pour la plupart des élèves).

Voici le sujet du DM (téléchargeable par un clic-droit) :

Des difficultés ont (re)surgi

  • Bien qu’ayant déja eu un contrôle (et un TP) sur les fonctions affines, beaucoup d’élèves ont du mal à calculer le coefficient directeur : En effet ils ne semblent pas persuadés de la nécessité d’apprendre une formule par cœur).
  • La résolution graphique de l’équation $f(x)=g(x)$ se fait en cherchant l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Plusieurs élèves confondent le point, l’abscisse du point et son ordonnée.
  • La résolution algébrique de l’équation $f(x)=g(x)$ a également posé de nombreuses difficultés :
    • addition de fractions avec la méthode de l’arbre de Stern-Brocot
    • multiplication d’un seul terme par l’inverse de la fraction
    • remplacer l’inverse d’une somme par la somme des inverses

Pour les graduations, plusieurs élèves ont pensé à échanger les abscisses avec les ordonnées dans l’exemple de l’énoncé, ce qui donne bien les graduations voulues. Et ceci, à leur grande satisfaction.

Quelques-uns ont trouvé comment faire les graduations obliques. Voici un exemple de production d’élève :

  1. for(i=1;i<=5;i++){
  2. e=Point(i,i);SetHide(e,true);
  3. f=Point(i,i);SetPointType(f,"point");
  4. SetShowName(f,true);SetAlias(f,i);
  5. g=Segment(e,f);
  6. }

Télécharger

Deux erreurs : Le segment est trop long (il aurait fallu diviser les coordonnées par 2) et ses extrémités sont égales entre elles.

L’exemple suivant, d’un autre élève, est par contre correct :

  1. for(i=0;i<=10;i++){
  2. a=Point(i/2-0.1,i/2+0.1);SetHide(a,true);
  3. b=Point(i/2+0.1,i/2-0.1);SetPointType(b,"point");
  4. SetShowName(b,true);
  5. }

Télécharger

(sauf qu’il manque le segment).

Pour aller plus loin

Une des élèves a par erreur réinventé les diagrammes en toile d’araignée :

toile d’araignée

Autrement dit, on peut calculer une moyenne harmonique de manière itérative (ce qui peut être vu en Première). La suite considérée est $u_{n+1}=-\frac{2}{5}u_n+2$. La manipulation de $u_0$ sur la figure ci-dessus montre que pour toute valeur de $u_0$, la suite converge vers la moyenne harmonique.

Le début de la suite pour $u_0=2$ donné par WxMaxima donne ceci :

$$2\mapsto\frac{6}{5}\mapsto\frac{38}{25}\mapsto\frac{174}{125}\mapsto\frac{902}{625}\mapsto\frac{4446}{3125}\mapsto\frac{22358}{15625}\mapsto\frac{111534}{78125}\mapsto\frac{558182}{390625}$$

qui est une suite de fractions qui convergent vers une fraction.

En Terminale, on peut conjecturer et chercher à démontrer par récurrence que le dénominateur est $5^n$ et, en posant $u_n=\frac{a_n}{5^n}$, on a

$$\frac{a_{n+1}}{5^n}=-\frac{a_n}{5^n}+\frac{2\times 5^n}{5^n}=\frac{2 \times 5^n-a_n}{5^n}$$

La suite des numérateurs est donc définie récursivement par

$$\left\{\begin{array}{l}a_0=2\\a_{n+1}=2 \times 5^n-a_n\end{array} \right.$$

et peut mener à une recherche d’éventuelles propriétés arithmétiques des nombres $a_n$...


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