Multiplicateur de Möbius à parabole

mardi 1er décembre 2009
par  Alain BUSSER

Comme dans l’activité précédente, la manipulation du nomogramme a précédé la preuve (elle aussi donnée en devoir maison, le deuxième donc portant sur les fonctions affines).

Le nomogramme peut être téléchargé (au format pdf) au bas de cet article. Il a été distribué en A3.

Cette fois-ci, plus besoin d’expliquer aux élèves comment on utilise un nomogramme, la question était « Que calcule ce nomogramme ? ». Plusieurs élèves ont vérifié que ce n’est pas la moyenne harmonique et tenté de trouver une fonction de la moyenne harmonique (décuple, carré) qui conviendrait. Sans succès. Environ la moitié des élèves de la classe ont trouvé seuls ce que le nomogramme calcule, ce qui les a profondément enthousiasmés (joie de la découverte mais aussi découverte d’une « machine à multiplier »).

Plusieurs élèves (surtout des filles) ont estimé que ce nomogramme serait très utile aux professeurs des écoles pour enseigner les tables de multiplication. C’est peut-être ce que cherchait à faire August Ferdinand Möbius en 1841, comme le suggère le titre de son article et la figure reproduite en bas de cet article.

Pour vérifier que le nomogramme calcule bien des produits, les élèves ont fait appel à leur mémoire des tables de multiplication plutôt qu’à leur calculatrice, ce qui est tout de même rassurant [1].

Constatant que l’usage d’un fil tendu est plus précis que celui de la règle, et qu’ils avaient oublié d’amener du fil noir comme je le leur avais demandé, quelques élèves ont mis à contribution la chevelure d’une des leurs...

L’utilisation du nomogramme pour effectuer des divisions a été vite trouvée, puis illustrée sur l’exemple de l’IMC. Sujet qui a visiblement passionné plusieurs élèves (lesquels peuvent se vanter d’avoir un IMC normal)


Plusieurs élèves ont estimé que la vérification sur deux ou trois exemples suffit à prouver que le nomogramme fait bien ce qu’il doit faire. Puis la perspective de faire une infinité de vérifications a enfin été abandonnée au profit d’une démonstration, une vraie.

La preuve a été l’objet de ce devoir maison :

preuve

La moyenne de la classe à ce devoir a été 8 : Le cours n’a pas été consulté pour le faire. En particulier il était demandé de calculer les coordonnées d’un vecteur et plusieurs élèves confondent la paire de coordonnées avec leur quotient. Le sens d’une équation réduite de droite (question 3.3) n’a pas été saisi par la plupart des élèves (c’était tout de même le deuxième DM sur les fonctions affines). Enfin seuls les meilleurs élèves de la classe saisissent la différence entre une vérification sur deux exemples et une démonstration dans le cas général. Et les produits remarquables sont très confidentiels...


[1Connaissance parfois un peu défaillante toutefois...


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