Populus, un logiciel sur l’écologie

mardi 1er décembre 2009
par  Alain BUSSER

L’écologie est la science des interactions des êtres vivants entre eux et avec leur environnement.

Le logiciel Populus, que l’on peut télécharger ici [1], est une collection de modèles évolutifs, décrits par des suites récurrentes ou des systèmes différentiels. Il peut donc présenter un intérêt pédagogique pour enseigner les suites et les équations différentielles.

Croissance exponentielle

Les suites géométriques modélisent une croissance indépendante de la densité de population [2] que l’on trouve dans Populus à la première entrée du menu « Models » (dans « single species dynamics »). Ensuite il faut cliquer sur « discrete » et choisir l’affichage de « N vs t ». En cliquant sur « view » (la double flèche verte) on voit le nuage de points représentant la suite géométrique, dans un graphique interactif : On peut modifier en direct le terme initial $N_0$ et la raison $\lambda$ de la suite :

Par contre Populus ne permet pas de faire ce genre de manip avec d’autres sortes de suites (même arithmétiques). Pour les suites on peut donc lui préférer edugraphe ou GeoGebra (des exemples en cours)


Pour la découverte de la fonction exponentielle, il suffit de cocher l’onglet « continuous » (au lieu de « discrete ») :

Dans ce cas on voit réprésentée la fonction $N_0 e^{rt}$ (où $r$ est réglable par curseur), solution de l’équation différentielle $y’=ry$

Équations différentielles

Pour entrer son équation différentielle préférée, Populus propose une entrée interactive, dans la toute dernière entrée du menu « Model », intitulée « Interaction engine ». Pour faire un peu plus simple (Populus propose un système différentiel d’ordre 3) on peut supprimer les nombreuses constantes, décocher les variables $N_2$ et $N_3$ et renommer $N_1$ :

Ci-dessus le nom donné à $N_1$ est $u$ parce qu’on cherche à résoudre l’équation différentielle $u’=\frac{u}{4}-\frac{u^2}{12}$ de l’énoncé suivant du bac S (Métropole juin 2005) :

En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note $u(t)$ le nombre des rongeurs vivants au temps $t$ (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction $u$, ainsi définie, satisfait aux conditions :

$$(\text{E}_{2}) \left\{\begin{array}{l c l} u’(t) &=& \dfrac{u(t)}{4} - \dfrac{[u(t)]^2}{12} \text{pour tout nombre réel} t \text{positif ou nul,}\\ u(0)& =&1.\\ \end{array}\right.$$


où $u’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$.

Il a suffi d’entrer « 1 » dans la case « u(0) » et « u/4-u*u/12 » dans la case « u’ ».


Un autre exemple : Bac S Pondichery 2006 :

En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effectif initial est égal à mille.

Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction $f$ du temps $t$ (exprimé en années à partir de l’origine 2000).

D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction $f$ est dérivable, strictement positive sur $[0 ; +\infty[$, et satisfait l’équation différentielle :

$$(\text{E})\qquad y’ = - \dfrac{1}{20}y(3 - \ln y).$$

Ainsi donc la variable s’appelle maintenant $y$ et sa valeur initiale est 1 (d’après la suite de l’énoncé). On entre dans « y’= » l’expression « -1/20*y*(3-ln(y)) » pour avoir la figure ci-dessous :

Écologie

Le modèle « hosts and parasitoids with insecticide » (dans l’entrée du menu « multi-species dynamics », sous-entrée « discrete predator-prey model ») permet en manipulant les constantes de spéculer les possibilités d’arriver à un équilibre entre le végétal, son prédateur (un insecte) et l’application d’un insecticide. Pas facile. Comme le suggère le mode d’emploi en pdf (page 29), l’insecticide fait plus de dégâts sur la plante que sur l’insecte. Cet exemple [3] illustre assez bien la notion d’équilibre écologique et de sa rupture.

L’explication de ce phénomène est peut-être bien génétique comme suggéré par l’exemple « insect resistance management » (dans « spatial models ») où des mutations génétiques permettent aux parasites d’apprendre à résister aux pesticides...

Il y a peu de chances que ce logiciel soit sponsorisé par Monsanto...


Le modèle « infectious microparasitic deseases » (dans « host-parasit models ») illustre au contraire une stabilité, le nombre de malades devenant constant lorsque la maladie s’est bien installée [4].


[1il est aussi sur la RoxMath.

[2contrairement au modèle dynamique de Verhulst par exemple

[3qui pourrait expliquer le syndrome d’effondrement des colonies d’abeilles, lequel pourrait bien être la plus grande catastrophe écologique de l’Histoire...

[4Lors de l’épidémie de chikungunya à la Réunion, on avait prédit une stabilisation lorsque 30% de la population serait atteinte, ce qui semble effectivement avoir été le cas.


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