Triangles et quadrilatères aléatoires

samedi 16 janvier 2010
par  Alain BUSSER

Dans un triangle dont les sommets sont aléatoires, les grandeurs (périmètre, angles, aire etc.) sont des variables aléatoires ; et les centres sont des points aléatoires.

Dans un quadrilatère dont les quatre sommets sont aléatoires, il en est de même mais surtout l’intersection de deux droites aléatoires est un point aléatoire.

Dans cet article, on considère trois points $A$, $B$ et $C$ aléatoires, dont les espérances ont pour coordonnées respectives $\bar{A}\left(-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}\right)$, $\bar{B}\left(\frac{5}{2} ;-\frac{1}{2}\right)$, et $\bar{C}\left(-\frac{1}{2} ;\frac{9}{2}\right)$.

Variables aléatoires

Aire

Le script Euler Math Toolbox suivant permet d’explorer la distribution des aires du triangle $ABC$ dans le cas gaussien :

(à condition d’avoir chargé le module de géométrie avec load geometry; au préalable).

Quelques explications sur les notations de ce script : Le symbole « underscore » représente la concaténation de matrices, la deuxième matrice étant placée sous la première. Le symbole « tube » fait la même chose mais en plaçant la deuxième matrice après la première (à droite). Enfin le symbole « prime » transpose les matrices.

Pour le cas uniforme, le script est le suivant :

L’histogramme des aires ressemble alors à ceci :


Angles

Même principe que ci-dessus, en remplaçant areaTriangle par computeAngle. L’histogramme des angles $\hat{A}$ ressemble à ceci,

dans le cas gaussien :

Et dans le cas uniforme :

Il est bien sûr absolument impossible que cette distribution soit gaussienne (elle est bornée).


Rayon du cercle circonscrit

Même manip mais cette fois-ci avec getCircleRadius(circleThrough(A'[i],B'[i],C'[i])). Dans le cas uniforme, on obtient la courbe en cloche suivante :

Orthocentre

L’orthocentre d’un triangle dont les sommets sont gaussiens est lui-même un point aléatoire mais il n’est pas gaussien. Il en est de même dans le cas où les sommets sont unifirmes. Pour le vérifier, le script suivant permet à Euler Math Toolbox de le représenter sous forme d’un nuage de points :

Dans le cas uniforme, le nuage de points est presque polygonal (en fait les bords sont des morceaux de coniques) :

Pour voir le nuage se construire en direct, rien de tel que CaRMetal :

lieu de l’orthocentre

L’écriture d’un CarScript reproduisant ce nuage de points est laissé en exercice.

Centre de gravité

Comme pour l’orthocentre, le centre de gravité est lui aussi aléatoire, mais dans le cas gaussien, il est lui-même gaussien. Dans le cas uniforme, le nuage est assez compact :

centre de gravité

Le tracé du nuage des centres des cercles inscrits est laissé en exercice. Pour cela on peut télécharger et modifier le fichier CaRMetal appelé « centre de gravité », au bas de cette page.

Cercle circonscrit

En représentant le centre du cercle circonscrit (en vert) avec l’orthocentre (en noir) et le centre de gravité (en rouge), l’alignement des trois centres ne saute pas aux yeux :

les trois centres

Par contre on voit ci-dessus que les nuages extrêmes sont homothétiques.

Pour vérifier l’alignement des trois centres il suffit d’ajouter la droite joignant deux d’entre eux (ci-dessous l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit) et de vérifier visuellement qu’elle passe bien par le troisième point :

droite d’Euler

En téléchargeant le fichier « droite d’Euler » ci-dessous, on peut l’ouvrir avec CaRMetal et cocher l’onglet « trace visible » sur la droite d’Euler. Ce qui permet de voir à quoi ressemble une droite aléatoire. Le spectacle est ... indescriptible !

Quadrilatères

Aires

En rajoutant un quatrième point aléatoire $D$ tel que $\bar{D}\left(\frac{3}{2} ;\frac{7}{2}\right)$, on a un quadrilatère aléatoire. Lla distribution de fréquences des aires ressemble à ceci :

Dans le cas gaussien :

Et dans le cas uniforme :

Intersection des diagonales

Sous Euler Math Toolbox, on peut facilement avoir les coordonnées du point d’intersection des diagonales $(AD)$ et $(BC)$ lineIntersection(lineThrough(A'[i],D'[i]),lineThrough(B'[i],C'[i]))'.

Dans le cas uniforme, le graphique donné par Euler Math Toolbox montre une densité pyramidale analogue à celle du milieu d’un segment aléatoire :

En attendant suffisamment longtemps, on peut le voir aussi sur la figure en cours de construction :

diagonales uniforme

Dans le cas gaussien, le nuage est à la fois dispersé dans ses valeurs extrêmes et concentré autour de l’intersection de $(\bar{A}\bar{D})$ et de $(\bar{B}\bar{C})$ :

Au fait, les coordonnées du point d’intersection sont $\left(\frac{13}{18} ;\frac{133}{54}\right)$

L’allure du nuage se confirme sur la figure ci-dessous, en cours de construction :

diagonales gaussien

On constate en passant l’ampleur du mouvement d’une droite passant par deux points gaussiens (comparé au cas uniforme).


Cercles

Pour finir en beauté, voici, dans le cas uniforme, le nuage des intersections du cercle de centre $A$ passant par $D$ et du cercle de centre $B$ passant par $C$ (deux nuages de points, qui semblent homothétiques) :


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