Méthode d’Euler et fonction exponentielle

mardi 28 septembre 2004
par  Christian STUBER , Jean-Claude LISE

Une première approche de la méthode d’Euler en Première S et diverses méthodes d’introduction de la fonction exponentielle en Terminale S.

La méthode d’Euler en live

Jean-Claude Lise

Il faut bien dire que les élèves découvrent souvent la méthode d’Euler en Terminale alors qu’elle figure au programme de Première S, mais peut-on réellement traiter la totalité du programme actuel de Première S en une année ? En tout cas la problématique qui s’y rapporte est envisageable après avoir traité l’interprétation numérique du nombre dérivé et, pour des raisons pratiques, la notation indicée. Le problème qui suit constitue une première approche de la méthode d’Euler.

On admet l’existence d’une fonction dérivable f sur l’intervalle [1, 5] dont la dérivée est la fonction racine carrée et qui prend la valeur 2/3 en 1. En utilisant l’approximation affine, on va construire une suite de points « proches » de la courbe représentative de f ; on obtient ainsi la courbe d’une fonction affine par morceaux g (non dérivable sur [1, 5]) « proche » de la courbe représentative de f.

Prolongement : on considère la fonction g définie sur [1, 5] par $g(x)=2/3 \times \sqrt{x}$. Démontrer que g est l’unique fonction répondant au problème ci-dessus (on donne un coup de pouce pour l’unicité !).

Dans un premier temps les élèves peuvent déterminer « à la main » des valeurs approchées de f(1,1), f(1,2), ... puis f(1), f(2), f(3), ... en prenant pour valeur approchée de $f(a+h)$ la quantité $f’(a)h+f(a)$. On les invite à compléter un tableau de valeurs et à tracer les points correspondants. Ce travail fastidieux à poursuivre à la maison devrait encourager les observations et les initiatives pour économiser des calculs !

La notation indicée permet d’y voir plus clair. De proche en proche, on met en évidence deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ : $x_{n+1}=x_n+h$ avec $x_0 = 1$ et $y_{n+1} = y_n + h \times \sqrt{x_n}$ avec $y_0 = 2/3$. Ces formules fournissent un algorithme de calcul facile à programmer.

On peut demander de compléter un tableau pour différentes valeurs de h. Par exemple pour h = 0,4 compléter :

n 1 2 3 4 5
$x_n$ 1 1,4
$y_n$ 0,67

Les instructions suivantes peuvent être tapées directement dans l’écran de calcul de la plupart des calculatrices pour obtenir successivement les valeurs $y_n$ :

$1 \to X : 2/3 \to Y$
$Y+0,4 \times \sqrt{X} \to Y : X + 0,4 \to X : Y$

Le fichier Excel Euler.xls illustre l’algorithme de calcul et permet de juger de la qualité de la méthode en fonction du paramètre h (le pas). Il est intéressant de faire la construction de ce fichier devant les élèves en insistant sur les aspects techniques (références absolues, choix du type de graphique) de sorte qu’ils puissent réinvestir en salle informatique ; par exemple lors de l’introduction de la fonction exponentielle.

Le fichier Géoplan Euler.g2w permet d’illustrer graphiquement la méthode : la courbe rose est celle que l’on veut approcher ; on ne connaît a priori que ses tangentes. Appuyer plusieurs fois sur la touche « R » pour lancer la construction ou sur la touche « Q » (construction des objets dans un autre ordre). On peut faire varier le pas h en appuyant sur la touche « H » puis les flèches. La fonction est aisément modifiable.

À télécharger : le fichier Euler.zip contenant le fichier Géoplan Euler.g2w et le fichier Excel Euler.xls.

Euler.zip

Différentes méthodes d’introduction de la fonction exponentielle en Terminale S

Christian Stuber

Compte rendu d’une journée de stage animée par Christian Stuber au lycée Lislet-Geoffroy (Saint-Denis) sur l’introduction de la fonction exponentielle en Terminale S. Nous proposons son exposé ainsi que les différents fichiers dynamiques Maple, Excel et Cabri Géomètre ayant illustré ses propos.

À télécharger : l’exposé au format pdf et un dossier zip contenant tous les fichiers Maple, Excel et Cabri Géomètre.

Exposé sur la fonction exponentielle
Fichiers dynamiques d’illustration

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