Abaque de Pouchet pour la multiplication

mercredi 10 février 2010
par  Alain BUSSER

L’écriture de la fonction $y=\frac{k}{x}$ à partir du produit en croix donne $xy=k$ ce qui permet de construire l’abaque de Pouchet comme famille de fonctions du type $\frac{k}{x}$, où $k \in \R^*$.

Première séance

Juste après le cours sur la fonction $\frac{1}{x}$ (la représentation graphique ayant été faite préalablement sur papier millimétré par les élèves), un exercice rapide sur calculatrice a été fait : Représenter graphiquement les fonctions $\frac{2}{x}$, $\frac{3}{x}$, etc.

les calculatrices graphiques peuvent représenter graphiquement des listes de fonctions

Dans le bloc $\fbox{f(x)}$, au lieu d’entrer
Y1=1/X, il suffit d’entrer
Y1={1,2,3,4,5}/X

La présentation au TBI avec l’outil « Séquence » de GeoGebra a alors servi de corrigé à cet exercice rapide.

Ensuite l’abaque de Pouchet téléchargeable au bas de cet article a été distribué aux élèves, et ils ont vérifié que les points de coordonnées $(1 ;8)$, $(1,6 ;5)$, $(2 ;4)$, $(2,5 ;3,2)$, $(3,2 ;2,5)$, $(4 ;2)$, $(5 ;1,6)$ et $(8 ;1)$ sont tous situés sur l’hyperbole $y=\frac {8}{x}$.

Ceci pour 3 raisons

  • C’est un exercice de lecture très classique en Seconde mais ça ne fait pas de mal de le refaire...
  • Amener les élèves progressivement de la représentation graphique de la fonction $y=\frac{k}{x}$ à l’équation de l’hyperbole sous forme produit $xy=k$ ;
  • entraîner les élèves à la lecture de lignes de niveau.

Après ça quelques produits ont été effectués graphiquement pour « vérifier que ça marche » et évaluer sommairement la précision de l’abaque. Un très bref résumé historique a été fait.

La première cause d’imprécision est la rotation infime des équerres, qui peut entraîner une erreur de plus d’une unité. L’un des élèves a tenté de remplacer les traits d’équerre par des traits de compas mais là encore, il y a des imprécisions...

En traçant les hyperboles sur du papier millimétré, on gagne en précision mais on perd en clarté, comme on le voit sur le premier onglet de la figure manipulable ci-dessous.

De façon générale, les élèves trouvent le fonctionnement de l’abaque de Pouchet plus simple que celui des nomogrammes. Mais cette préférence n’est pas totalement unanime non plus.

Deuxième partie

Le principe est le suivant : Comme $x^2-sx+p$ s’annule en deux nombres $x_1$ et $x_2$ (pas nécessairement réels) dont la somme vaut $s$ et le produit $p$, on cherche l’intersection de la droite d’équation $x+y=s$ et de l’hyperbole d’équation $xy=p$. Voir le second onglet de la figure ci-dessous pour une figure manipulable.

Le problème a été traité en devoir maison, dont le sujet est ici au format pdf :

sujet du DM

Les réponses au 2 de l’exercice 2 ont été variées : Beaucoup d’élèves n’ont pas imaginé que les lettres s et p puissent être des abréviations (notamment parce que les réponses au 1 n’ont pas toujours été justes) et l’un d’entre eux a imaginé que s signifiait « second » et p « premier »...

Le 3 de l’exercice 2 a très rarement été fait (la production attendue était « parce que $s+0=s$ et que $0+s=s$ ») vraisemblablement parce que le sens du mot « démonstration » n’est pas encore acquis en Seconde.

Les droites de l’exercice 3 ont l’air faciles à tracer ... Apparemment non ... En plus, l’abondance d’hyperboles rend le repérage difficile, plusieurs élèves ayant tendance à passer d’une hyperbole à une autre.

La notion de droite tangente à une hyperbole apparaît spontanément dans la question 3 (la production attendue était « l’équation n’a qu’une solution ») par contre la factorisation de $x^2-6x+9$ par produit remarquable n’a été réussie par personne...

L’interprétation de l’intersection vide de la question 4 en termes de résolution d’équation ($S=\emptyset$) n’a pas toujours été faite. De même certains élèves répondent aux questions de résolution graphique d’équations en donnant les coordonnées des points d’intersection au lieu de leurs abscisses seules, bien qu’ils aient perçu l’exercice comme la recherche d’images communes par deux fonctions.

Deux bonnes surprises émanent de ce devoir : La plupart des élèves, sinon tous, comprennent qu’une hyperbole est une courbe en deux morceaux, et les meilleurs d’entre eux ont saisi l’intérêt algébrique du début de l’énoncé, ayant réussi des factorisations difficiles par ce raisonnement :

  • On ne sait pas factoriser $x^2-8x+15$ avec les méthodes vues en cours ;
  • Mais on sait d’après le début de ce devoir que si $x^2-8x+15=(x-a)(x-b)$ alors $a+b=8$ et $ab=15$ ;
  • Le problème revient alors à chercher deux nombres dont la somme vaut 8 et le produit 15, ce qui est facile (intuition ? tâtonnement ?)
  • Ayant trouvé 3 et 5, et ressentant un certain flou dans le raisonnement, ces élèves ont alors justifié la réponse trouvée en développant $(x-3)(x-5)$

Ce raisonnement témoigne d’une bonne compréhension du lien entre factorisation et équations (pour montrer que $x^2+3$ n’est pas factorisable, je montre que $x^2+3=0$ n’a pas de solution réelle) et de l’intérêt de transformer une équation du second degré en système non linéaire, méthode qui était autrefois enseignée en Seconde C et qui est à la base de la théorie de Galois...

Une copie mystérieuse...

Si quelqu’un comprend ce que voulait dire cet élève, prière de laisser un commentaire au bas de cet article... :



Documents joints

abaque de Pouchet
solveur graphique

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