Un hommage CaRMetallien à Cédric Villani

L’un des médaillés Fields 2010 enseigne les distributions
vendredi 27 août 2010
par  Alain BUSSER

En fait, la théorie des distributions n’est pas vraiment compliquée, mais on a un peu du mal à accrocher en raison du manque de figures des cours habituels (celui de Villani ne comporte pas une seule figure !). Ci-dessous c’est exactement le contraire : Pas de cours, pas d’explication, que des figures...

Histoire de patienter pendant le chargement des figures en question, voici quelques remarques épistémologiques sur les distributions et quelques idées sous-jacentes :

  • La théorie des distributions, inventée par Laurent Schwartz dans les années 1950, est basée sur l’idée selon laquelle, si on connaît $\int f(x) \varphi(x) dx$ pour « beaucoup » de fonctions $\varphi$, alors on connaît $f$, du moins si elle est continue. Cette idée existait déjà chez Johann Radon dans les années 1920, avec les mesures de Radon qui sont les distributions les plus courantes (toutes celles des figures ci-dessous en sont).
  • L’impulsion de Dirac, introduite par Paul Dirac comme une fonction généralisée, semble avoir été inventée dès le début du XXe siècle par Oliver Heaviside, pour une méthode consistant à résoudre des équations différentielles de façon formelle, par transformées de Laplace.
  • La méthode en question, comme son nom l’indique, était déjà pratiquée par Laplace à la fin du XVIIIe siècle...
  • L’utilisation des distributions par Laurent Schwartz pour résoudre des équations différentielles ou aux dérivées partielles, donne les solutions de ces équations différentielles comme convolutions de solutions d’équations différentielles avec distributions. Ces solutions particulières s’appellent des fonctions de Green... parce que George Green utilisait déjà cette méthode dans la première moitié du XIXe siècle !
  • En considérant $\int f(x) \varphi(x) dx$ comme un produit scalaire, l’idée décrite ci-dessus est géométrique : En connaissant le produit scalaire d’un vecteur donné avec plusieurs autres vecteurs (par exemple, les vecteurs d’une base), on connaît ce vecteur : c’est la description d’un vecteur par coorconnées covariantes. Cette description remonte au moins à Hamilton au milieu du XIXe siècle...

Après ça qui dira que l’épistémologie est facile ?

Après ces remarques, voici donc, roulement de tambours, quelques portraits de distributions :

Le dossier CaRMetal (au format « zirs ») est téléchargeable ci-dessous, et on peut par exemple, par clic droit, modifier la fonction f qui est « intégrée contre des fonctions test ».


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