Convergence d’une suite basée sur une somme

lundi 13 septembre 2010
par  Alain BUSSER

Autre exercice issu de fouilles archéologiques dans le livre de la collection Terracher.

L’intérêt algorithmique de cette suite réside dans le fait qu’il faut une boucle pour calculer le terme général de la suite (qui est une somme), elle-même placée à l’intérieur d’une autre boucle (celle sur l’indice de la suite). En notation algébrique :

$$u_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+3}+...+\frac{n}{n^2+n}$$

ou

$$u_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k}}$$

Cette dernière notation présente l’avantage de bien montrer qu’il y a deux boucles puisqu’elle donne le nom des indices : Boucle extérieure sur n, dans laquelle on calcule la somme par une boucle intérieure sur k.

En ajoutant le raccourci « += » propre aux langages objets pour l’addition au fur et à mesure de nombres à une variable « somme » (ci-dessous désignée u), on obtient un programme court, donc facile à évaluer. Voici la version IDLE :

On remarque que l’exercice n’est pas très facile à faire avec un tableur à cause de ces deux indices (il faut faire un tableau à deux dimensions puis sommer ses colonnes par exemple, ce qui est loin d’être simple). On peut néanmoins faire l’exercice sans boucle (ou plutôt avec des boucles cachées dans le logiciel) avec par exemple Xcas :

Pour présenter l’exercice sans la lettre « Sigma », on peut faire une liste :

  • Le calcul numéro 1 consiste à écrire (et calculer) $\frac{1}{1^2+1}$ ;
  • Le calcul numéro 2 est un vrai calcul : $\frac{2}{2^2+1}+\frac{2}{2^2+2}$ ;
  • Le calcul numéro 3 consiste à écrire puis calculer $\frac{3}{3^2+1}+\frac{3}{3^2+2}+\frac{3}{3^2+3}$ ;
  • Le calcul numéro 4 consiste à écrire puis calculer $\frac{4}{4^2+1}+\frac{4}{4^2+2}+\frac{4}{4^2+3}+\frac{4}{4^2+4}$ ;
  • ...
  • Le calcul numéro n consiste donc à calculer la fraction $u_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+3}+...+\frac{n}{n^2+n}$...
  • ...
  • Quel est le calcul numéro $\infty$ (la limite de la suite $u_n$) ?

La fin de l’exercice consiste à chercher un minorant et un majorant de $u_n$ :

  • Pour le majorant, il suffit de majorer chaque terme de la somme (en pensant toutefois à utiliser la décroissance de $x \mapsto \frac{n}{n^2+x}$) et dénombrer ces termes ;
  • Par contre pour le minorant la même technique aboutit à l’expression $\frac{n^2}{n^2+n}$ qui se simplifie par une factorisation du dénominateur. Il y a lieu de débattre là-dessus, mais en cas de difficulté, le passage par un logiciel de calcul formel faciliterait la simplification, comme le montre cette très courte séance Maxima :

L’intérêt essentiel de cet exercice est tout à la fin : Comment, à partir d’un encadrement de $u_n$, déduire sa limite ? De cette manière, le TP ressemble à une évaluation de l’épreuve expérimentale du bac, avec sa partie purement manipulatoire au début (jusqu’à l’émission de conjectures) et la rédaction d’une démonstration à la fin. Dans ce cadre, on peut donc considérer ce TP comme une préparation à la Terminale, voire le donner en Terminale dès cette année...


Commentaires

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samedi 19 novembre 2011 à 11h52 - par  Alain BUSSER

En fait on peut écrire plus simplement le programme, le langage Python ayant lui aussi une instruction « sum ». Avec Python 3, la nouvelle division permet de simplifier encore plus :

for n in range(1,20):
        u=sum(n/(n**2+k) for k in range(1,n))
        print(n,u)