Premier exemple
La suite « à la Fibonacci » $u_{n+1}=u_n+u_{n-1}$ avec $u_0=1$ et $u_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ est géométrique de raison $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ donc tend vers 0. Théoriquement...
Si on calcule ses 20 premiers termes avec IDLE :
on trouve qu’elle a bien l’air de tendre vers 0, mais si on pousse un peu plus loin :
le 100ième terme a l’air plutôt ... divergent :
Le problème en Première est que classiquement, pour prouver que la suite est géométrique, on utilise le raisonnement par récurrence, qui est déjà considéré comme difficile en Terminale...
Mais une fois de plus, on peut (en attendant la Terminale) demander aux élèves de faire confiance en un logiciel de calcul formel, par exemple Maxima et son merveilleux module « solve_rec » :
Une autre difficulté posée par cet exemple est que la récurrence se fait sur deux termes ($u_{n+1}$ fonction de $u_n$ et de $u_{n-1}$). Plus simple en Première serait un exemple où $u_{n+1}$ ne dépend que de $u_n$. Mais un autre exemple de récurrence sur deux termes est cité ici.
Exemple homographique
La suite $u_n$ définie par $u_0=2-\sqrt{3}$ et $u_{n+1}=4-\frac{1}{u_n}$ est constante. Théoriquement...
Dans la pratique cela semble bien être le cas au début :
mais numériquement, la limite de la suite semble être $2+\sqrt{3}$...
Pour montrer que la suite est constante, on a besoin de simplifier $4-\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ par multiplication aux numérateur et dénominateur par le conjugué $2+\sqrt{3}$ de $2-\sqrt{3}$. Ce qu’aucun élève de Seconde n’a appris à faire... Là encore, un logiciel de calcul formel peut venir à la rescousse.
Exemple affine
La suite $u_n$ définie par $u_0=\frac{1}{3}$ et $u_{n+1}=4u_n - 1$ est constante. Théoriquement...
Numériquement elle diverge un peu comme l’exemple du premier onglet. Le script ci-dessous
produit sous CaRMetal
Le paquet magique « solve_rec » de Maxima confirme pourtant que la suite est constante :
Conclusion : Le comportement d’une suite dépend de l’outil dont on se sert pour l’étudier...
Exemple parabolique :
La suite logistique $u_{n+1}=4u_n(1-u_n)$ avec $u_0=\frac{\sqrt{3}+2}{4}$ converge vers $\frac{3}{4}$. Théoriquement...
Numériquement, elle est chaotique sur [0 ;1] , comme le montre sa representation :
obtenue (avec division des abscisses par 10 pour y voir quelque chose) par le CaRScript suivant :
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