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mardi 14 septembre 2010
par  Alain BUSSER

Instabilité numérique

Des suites qui ne font pas la même chose dans la pratique et en théorie...

En réponse à...

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vendredi 3 décembre 2010 à 12h23 - par  Marc Jambon

Réponse au commentaire du 28 novembre 2010.

Je ne connaîs pas Python et il est possible qu’il accepte une substitution directement sur deux variables (là je ne m’engage pas), toutefois, j’ai fait le calcul sur Mathematica avec les 100 premiers termes, les calculs se font avec 6 décimales affichées jusqu’au 23e terme, puis avec un nombre décimal à 6 décimales multipliée par une puissance de 10 négative, la suite est alternée et décroissante en valeur absolue jusqu’au 50e terme qui est de l’ordre de 10^(–12), puis deux termes consécutifs sont négatifs à partir du 51e, on a une croissance en valeur absolue à partir du 57e terme, les puissances de 10 négatives deviennent inutiles à partir du 77e terme. Pour le 100e terme, Mathematica donne –0.929201, ce qui est complèment différent de ce qui est donné par Python, la gestion des arrondis est sûrement différente, c’est la seule explication qu’on puisse donner en admettant que le programme Python soit correct.

De toute façon, ceci confirme qu’il ne faut pas se fier à des calculs où l’on remplace valeur exacte par valeur approchée, les erreurs d’arrondis à partir d’un certain rang deviennent supérieures aux erreurs théoriques. Imaginons qu’on propose sur Mathematica une boucle « tant que la valeur absolue du terme de la suite est supérieure à 10^(–13) », le programme tournera sans fin, contrairement à ce qu’on pouvait attendre. Sûrement de même avec un autre logiciel en adaptant le test d’arrêt.

En tout cas, le sujet de l’article est particulièrement intéressant et les essais sont convaicants, beaucoup d’utilisateurs s’imaginent que les erreurs sont « négligeables » et ont une confiance aveugle dans leur calculateur ! Félicitation à son auteur.

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