Sujets Math.en.Jeans 2011

samedi 29 janvier 2011
par  Sophie FUR

Pour l’année 2010-2011, quatre sujets de recherche ont été proposés aux élèves du lycée Jean-Hinglo par Marion Le Gonidec, maître de conférences à l’université de la Réunion : codages, cryptographie, modélisation de feux de forêts, mouvements de foule, trajectoires d’une boule de billard. Il s’agit de sensibiliser les élèves à la recherche mathématique, d’éveiller leur curiosité et de leur apprendre à travailler en groupe.

Des maths dans la nature :

  • Comment modéliser la propagation des feux de forêt ?
  • Mouvements de foule

Des maths pour échanger « sûrement » des informations :

  • Entre humains : comment crypter (et décrypter) des textes ?

Des maths dans les jeux :

  • Quelles trajectoires peut suivre une boule de billard ?

Modélisation de la propagation des feux de forêt

Un feu de forêt

On utilise les automates cellulaires. La forêt est représentée par des « cellules » :

  • les vertes : arbres,
  • les blanches : rien,

puis, on allume une cellule (cellule rouge)...

  • Si un arbre (cellule verte) est à « proximité directe » (au-dessus, au-dessous, à gauche ou à droite) d’un arbre en flamme (cellule rouge), à l’instant suivant, il sera en flamme.
  • Si un arbre est en flamme, à l’instant suivant, il devient cendres (cellule grise).
  • Si un arbre est en cendres, à l’instant suivant, il n’y a plus rien à brûler (cellule blanche).

Feuille de route :

  • Comprendre et formaliser le modèle avec des automates cellulaires.
  • Éventuellement réaliser une simulation.
  • Influence de la proportion d’arbres dans la propagation du feu : notion du seuil de percolation...
  • Un modèle mathématique peut toujours être amélioré : comment tenir compte d’autres facteurs dans le modèle ? Ex : vent, différents types de végétation, de terrain, etc.
  • Que ce passe-t-il si on met d’autres règles de « transition » ? Si on travaille uniquement sur une ligne de cellules ? Si on a d’autres liens de voisinage entre les cellules ? Etc.

Bonus : question/devinette

Quel est le point commun entre :

  • la propagation d’un feu de forêt,
  • la propagation d’un virus informatique,
  • l’évolution d’un embouteillage sur la route du littoral,
  • un café expresso qui coule dans un percolateur...?

Mouvements de foule

(suite à la conférence de Juliette Venel lors du congrès 2010)

Situation : on prend une salle de cours (rectangle) avec deux issues de secours. On cherche à connaître le temps moyen d’évacuation des n élèves.

Diverses modélisations pourront être abordées : de manière discrète ou continue, avec des petites valeurs de n, avec ou sans obstacles. On pourra aussi réaliser des simulations.

Crypter et décrypter des textes : du code César... à la machine Enigma

Cryptanalyse du code :

Un outil : analyse des fréquences d’Al-Kindi. Cela marche d’autant mieux si le texte est long.

Langue française (en %) :

A B C D E F G H I J K L M
9.42 1.02 2.64 3.39 15.87 0.95 1.04 0.77 8.41 0.89 0.01 5.34 3.24
N O P Q R S T U V W X Y Z
7.15 5.14 2.86 1.06 6.46 7.90 7.26 6.24 2.15 0.01 0.30 0.24 0.32

Feuille de route :

  • Qu’est ce que César a écrit à Cléopâtre ?
  • Quel est le principe et la principale « vulnérabilité » du code César ?
  • Éventuellement programmer un « logiciel » de cryptage/décryptage de texte avec le code César.
  • Les raffinements du code César :
    • Le code de Vigenère (Moyen-Âge) : quel est son principe ? Comment a-t-il été « craqué » ?
    • La machine Enigma (Seconde Guerre mondiale) : quel est son principe ?

La machine Enigma

Les mathématiques du billard : comprendre les déplacements et les trajectoires possibles d’une boule de billard

Le jeu de billard

Quelle trajectoire une boule peut-elle suivre ?

Pour la modélisation, on considèrera un billard spécial sur lequel :

  • une boule est toujours lancée sans effet,
  • une boule peut continuer indéfiniment sa course.

Une trajectoire de billard

Feuille de route :

  • Expliciter les règles de déplacement d’une boule sur ce billard.
  • Une boule peut-elle faire une boucle ?
  • Une boule peut-elle décrire une trajectoire qui ne repasse pas indéfiniment par les même points ?
  • Une boule peut-elle être lancée de manière à ce qu’elle passe par tous les endroits du billard ? Ou au contraire, qu’elle évite une zone complète ?
  • Et si on jouait sur un billard triangulaire ? Hexagonal ? Que se passerait-il ?

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