L’étude des nombres métalliques

Du nombre d’or aux nombres métalliques
mercredi 18 mai 2011
par  Claire FRANCESCONI

Cette activité est destinée à tous les passionnés de mathématiques. Elle fournit aux enseignants de collège ou de lycée de nombreuses applications comme la construction de radicaux à la règle et au compas. Elle est composée de plusieurs modules.

REMERCIEMENTS

UN GRAND REMERCIEMENT AUX WEBMASTERS DES SITES SUIVANTS POUR LEURS INFORMATIONS ET LEURS IMAGES « LIBRES » :

- Merci à Géry Huvent, pour son excellent article les nombres métalliques publié à l’Irem de Lille.
- Merci à Véra W. Spinadel pour son excellent article sur les nombres métalliques.
- Merci aux enseignants qui ont créé et créent encore le logiciel de géométrie dynamique CaRMetal.
- Merci à Cristóbal Vila pour son excellent film mis sur You Tube nature by numbers
- Merci à Dominique Tournès, directeur de l’IREM de la Réunion, pour son soutien et ses encouragements dans mes moments de doute.
- Merci à Yves Martin pour ses excellentes explications sur le logiciel CaRMetal
 

Étude mathématique

1. ÉTUDE MATHÉMATIQUE

a) Les nombres métalliques : introduction

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ÉTUDE DU NOMBRE D’OR

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ÉTUDE DU NOMBRE D’ARGENT

Nous allons partir sur les traces d’Euclide. Comme lui, nous allons étudier le découpage d’un segment.

Euclide avait coupé un segment en deux parties pour aboutir au nombre d’or. Nous le découperons en trois parties pour aboutir à la mise en équation du nombre d’argent.

Cette étude va nous faire découvrir deux nombres d’argent, le premier sera appellé le nombre d’argent et le deuxième sera appelé « proportion d’argent » .

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ÉTUDE DU NOMBRE DE CUIVRE

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ÉTUDE DU NOMBRE DE NICKEL

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ÉTUDE DU NOMBRE DE COBALT

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ÉTUDE DU NOMBRE DE FER

Le nombre de fer correspond à un segment coupé en sept parties, qui vérifient la relation ci dessous :

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RÉSUMÉ SUR LES NOMBRES MÉTALLIQUES

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b) Les angles métalliques

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Les figures géométriques de base

2. LES FIGURES GÉOMETRIQUES DE BASE

TOUTES LES CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES ONT ETE FAITES AVEC LE LOGICIEL CARMETAL.

a) Les segments métalliques

segment métalliqueconstruction
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On remarquera que ces segments vérifient les relations de rapports de longueur des proportions métalliques.

b) Les rectangles métalliques


Pour bien comprendre les rectangles métalliques, commençons par comprendre le rectangle d’or et le rectangle d’argent. Ainsi :

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Le rectangle de cuivre est le rectangle à qui, si on lui retire les trois carrés les plus grands possibles, reste encore un rectangle de cuivre.

Les rectangles métalliques ont une propriété commune à celle des fractals. C’est la propriété d’auto-similarité. Ainsi, tout rectangle métallique contient un autre rectangle métallique aux mêmes proportions. Ces deux rectangles vérifient la même relation de proportionnalité, à savoir $\frac{longueur}{largeur} $ .

Commençons par les rectangles d’or et d’argent :

rectangle métalliqueconstruction
or JPEGJPEG
argent JPEGJPEG

Pour bien comprendre la construction de ces rectangles ainsi que les explications mathématiques, voici des animations CaRMetal que j’ai filmées sur le rectangle d’or et le rectangle d’argent :

Constructions et explications du rectangle d’or :

Ici, on prend un carré de côté égal à 2 mais on aurait très bien pu prendre un carré de côté égal à 1 comme dans les constructions précédentes.

Construction du rectangle d’or
Explication du rectangle d’or

Constructions et explications du rectangle d’argent :

Construction du rectangle d’argent
Explication du rectangle d’argent

Voici maintenant les autres rectangles métalliques :

rectangle métalliqueconstruction
cuivre JPEGJPEG
nickel JPEGJPEG
cobalt JPEGJPEG
fer JPEGJPEG

Comparons les rectangles métalliques :

- premièrement avec leurs carrés et leur rectangle similaire :

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- deuxièmement les rectangles métalliques sans leurs carrés :

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c) Les triangles métalliques


Un triangle métallique est un triangle isocèle qui respecte les proportions $\frac{cote}{base} $ = proportion métallique. Il contient lui même un autre triangle qui a les mêmes proportions. Ainsi, comme les rectangles métalliques , les triangles métalliques ont la propriété d’auto similarité.

Pour construire un triangle métallique, on trace un rectangle métallique et on reporte la longueur du rectangle sur le côté du triangle isocèle.

Pour mieux comprendre :

- construction et explication du triangle d’or :

Construction du triangle d’or
Explication du triangle d’or

- construction du triangle d’argent (c’est le même procédé de construction que pour le triangle d’or) :

Construction du triangle d’argent

Voici donc les triangles métalliques :

constructionfigureconstructionfigure
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Comparons les triangles métalliques obtenus :

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d) les angles métalliques


Les angles métalliques ont été déjà étudiés dans l’étude mathématique (voir plus haut. On avait en résumé :

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Spirales et autres figures

3. SPIRALES ET AUTRES FIGURES

a) La spirale d’or

Le but est de créer des rectangles d’or et de joindre des arcs de cercle. voici l’explication de la construction de cette spirale d’or :

Construction de la spirale d’or par étapes

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b) La spirale d’argent

Je n’ai trouvé nulle part la spirale d’argent, j’ai donc décidé de la créer. Mais contrairement à la spirale d’or, je ne pouvais imbriquer les rectangles d’argent à l’intérieur du premier rectangle d’argent. J’ai eu l’idée de décaler chaque rectangle d’argent de manière à continuer la spirale d’argent.

Pour bien comprendre la construction de cette spirale d’argent, ouvrir le diaporama ci dessous :

Construction de la spirale d’argent par étape

Voici le résultat :

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Voici une comparaison des spirales d’or et d’argent :

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c) La spirale de cuivre

Pour créer la spirale de cuivre, il fallait partir du rectangle de cuivre, qui a trois carrés. Ne pouvant créer un cercle passant par quatre points des carrés, j’ai donc utilisé une ellipse qui passe par ces quatre points et par un cinquième point qui est symétrique à l’un des points de l’ellipse par rapport à l’axe passant par les côtés inférieurs des carrés.

La spirale de cuivre est donc de type elliptique contrairement aux spirales d’argent et d’or qui, elles, sont des spirales concentriques.

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On peut également tracer une spirale de cuivre avec la suite de quartobonacci qui lui est associée. Cette spirale se déroule en trois étapes :

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Voici la comparaison des coquillages métalliques précédents :

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d) Les spirales de nickel

J’ai trouvé trois spirales de nickel. En effet, il y a trois possibilités d’ellipse passant par les plus grand nombre de sommets des carrés.

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Voici la spirale de nickel n°1 :

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Voici la spirale de nickel n°2 , elle est plus symétrique :

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Voici la spirale de nickel n°3 :

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On peut également tracer une spirale de nickel avec la suite de quintobonacci qui lui est associée. Cette spirale se déroule en trois étapes :

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Comparons les trois coquillages de nickel :

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Je prendrai dorénavant les spirales qui sont les plus symétriques.
Ainsi, la spirale de nickel retenue est la spirale de nickel n°2 .

e) Les spirales de cobalt

Il y a 8 ellipses de cobalt possibles.

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Parmi ces ellipses, deux seulement sont symétriques.

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Voici la spirale de cobalt n°1 :

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Voici la spirale de cobalt n°2 :

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On peut également tracer une spirale de cobalt avec la suite de sixobonacci qui lui est associée. Cette spirale se déroule en trois étapes :

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f) les spirales de fer

Il a y au moins 8 ellipses de fer.

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Parmi ces ellipses, deux seulement sont symétriques.

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Voici la spirale de fer n°1 :

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Voici la spirale de fer n°2 :

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On peut également tracer une spirale de fer avec la suite de septobonacci qui lui est associée. Cette spirale se déroule en trois étapes :

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Et pour finir, voici donc un comparatif des coquillages métalliques :

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g) Figures géométriques issues du nombre d’or ou du nombre d’argent


Voici des empilements de boules d’or et de boules d’argent :

On va utiliser le même processus de construction que pour les spirales métalliques, mais sans les emboiter les unes dans les autres .

Le principe est le suivant : on crée deux rectangles métalliques identiques. puis on trace un cercle passant par ces deux rectangles. On déplace les deux petits rectangles métalliques contenus dans les grands au dessus des carrés et on recommence.

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Voici des empilements d’ellipses métalliques :

Là aussi, on va utiliser le même processus de construction que pour les spirales métalliques, mais sans les emboiter les unes dans les autres .

Le principe est le suivant : On crée deux rectangles métalliques identiques. puis on trace une ellipse passant par ces deux rectangles. On déplace les deux petits rectangles métalliques contenus dans les grands au dessus des carrés et on recommence.

constructionfigure obtenue
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Voici un exemple de construction avec une ellipse de nickel asymétrique (voir coquillage de nickel n°1) :

constructionfigure obtenue
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Il y a aussi les figures issues d’ellipses de cobalt et de fer.

constructionfigure obtenue
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Comparons maintenant les ellipses métalliques :

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Les losanges métalliques :

Le principe des losanges métalliques est le suivant : on prend un rectangle métallique, et on veut tracer le petit rectangle métallique qui lui est associé à l’intérieur du grand rectangle afin de tracer les deux losanges qui leurs sont associés.

Pour cela, on va effectuer deux transformations : la première transformation est une translation qui permet de centrer le petit rectangle métallique. La deuxième transformation est une rotation de 90° qui va permettre de le faire pivoter sur lui même de 90°.

Le diaporama ci dessous résume ces différentes étapes de construction de losanges métalliques.

Construction des losanges d’or et d’argent

Voici les 6 losanges métalliques :

losange métalliqueconstruction
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cuivre JPEGJPEG
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cobalt JPEGJPEG
fer JPEGJPEG

Comparons les losanges métalliques obtenus :

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Les polygones métalliques :

Je n’ai trouvé pour l’instant que le pentagone à base de triangles d’or. Je compte bien en trouver ultérieurement.
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Histoire et arts

LES AUTRES PARTIES, HISTOIRE ET ARTS SERONT TRAITÉES DANS UN AUTRE ARTICLE.

4. HISTOIRE DU NOMBRE D’OR

5. LES ARTS ET LES NOMBRES MÉTALLIQUES

a) Peinture

b) Architecture

c) Musique


Commentaires

Logo de Alain BUSSER
mardi 24 mai 2011 à 18h25 - par  Alain BUSSER

CaRMetal pour les nombres métalliques, quel choix logique ! Ce logiciel exporte les figures au format vectoriel (eps, svg ou pdf) ce qui le rend apte à créer de belles spirales très « pro ».