Travaux de l’atelier MeJ 2011 : Mouvement de foule

samedi 18 juin 2011
par  Sophie FUR

Nous avons commencé par mesurer notre salle de classe puis avons décidé de la quadriller en carrés de 50 cm de côté (emplacement d’un élève).

Nous avons un quadrillage de 13 colonnes et 20 lignes. Nous constatons que la salle possède un axe de symétrie, car il y a exactement deux sorties.
Le point bleu représente une position possible pour un élève.

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Nous avons d’abord étudié le cas où il n’y a qu’un élève puis généralisé au cas où il y a deux élèves. Nous supposons qu’en cas d’urgence, les élèves sortent par la sortie la plus proche (celle-ci n’est pas obstruée).

Cas d’un élève

Pour chaque position possible de l’élève dans la classe, nous calculons la distance de ce dernier jusqu’à la sortie la plus proche.

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D’après le dessin ci-dessus, la distance de sortie sera

À l’aide d’un tableur, nous avons obtenu les temps de sortie suivant :

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Le temps moyen de sortie d’un élève est alors de 3,85.

Nous avons ensuite traité le cas de deux élèves.

Cas de deux élèves

Plusieurs configurations sont alors possibles :

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Pour ces deux configurations, le temps de sortie est 4,98.
Ainsi, pour un temps donné, nous avons plusieurs façons de placer les deux élèves.
Par exemple, pour un temps de sortie de 0,25, il y a quatre configurations possibles. Nous ne pouvons pas compter toutes les configurations possibles pour un temps donné, il nous faut donc trouver une formule pour généraliser.
Essayons de déterminer le nombre de configurations pour un temps de sortie de 0,56. Pour cela, nous avons construit un arbre de choix :

Nous avons donc 32 façons de placer les deux élèves pour lesquelles le temps de sortie sera de 0,56.
Si x est le nombre de cases de temps T donné alors nombre de cases pour deux élèves est :

À l’aide de cette formule, nous avons complété le tableau ci-après :

En effectuant la moyenne de ces valeurs, nous obtenons le temps moyen de sortie pour deux élèves qui est de 4,83.

Faute de temps, nous n’avons pas pu poursuivre nos recherches.


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