Mélanges géométriques

mardi 29 novembre 2005
par  Baptiste GORIN

Cinq études géométriques pour faire réfléchir de manière attrayante du collège jusqu’à l’agrégation interne : découverte de l’arbelos, construction de l’heptagone régulier, géométrie du compas, pentagramme de Miquel, propriété de cocyclicité associée aux médianes d’un triangle.

Une étude de l’arbelos

Les outils utilisés sont fort élémentaires (théorème de Pythagore à foison, théorème de Thalès), mais l’intérêt de cette étude est double :

- découvrir une figure aux propriétés remarquables faisant apparaître de nombreux cercles isométriques (dont les fameux cercles jumeaux d’Archimède) ;
- exploiter les propriétés d’une transformation souvent délaissée : l’inversion.

Arbelos

À propos de l’heptagone régulier et de sa construction

Il est bien connu que la construction de l’heptagone régulier est impossible à la règle non graduée et au compas. L’objet de cette note est d’en donner deux constructions, la première, approchée, la seconde, exacte, en utilisant le compas et la règle marquée (construction de Neusis).

Heptagone régulier

La géométrie du compas

Dans les treize livres des Éléments, les constructions géométriques étudiées par Euclide s’effectuent à la règle et au compas uniquement. Certains problèmes de construction se sont révélés impossibles à l’aide de ces seuls instruments ; il en est ainsi de la quadrature du cercle, de la duplication du cube et de la trisection de l’angle. Par ailleurs, il s’avère que si la construction d’un point peut être réalisée à la règle et au compas, elle peut l’être, en fait, au compas seul.

Cette note s’intéresse donc à la géométrie du compas. Des constructions effectuées à l’aide du compas, qu’elles soient élémentaires, classiques ou célèbres, sont tout d’abord présentées avant de démontrer le théorème de Mohr-Mascheroni. Nous nous situons au niveau du lycée, voire du collège pour les constructions les plus élémentaires, même si quelques démonstrations et constructions font appel à l’inversion.

Géométrie du compas

Deux problèmes de cocyclicité

Deux problèmes de cocyclicité abordés de manière un peu inhabituelle :

  1. le pentagramme de Miquel ;
  2. la cocyclicité des centres des cercles circonscrits aux six petits triangles découpés par les médianes d’un triangle.

Bien que la cocyclicité ait disparu du programme de terminale, ces deux problèmes seront utiles pour préparer l’écrit du CAPES et pour alimenter les leçons d’oral de l’agrégation.

Pentagramme de Miquel
Médianes et cocyclicité


Commentaires