Poster un commentaire à la suite de l’article...

samedi 29 octobre 2011
par  Nathalie CARRIÉ

Stage de logique par René Cori

Notes prises par Nathalie Carrié pendant le stage de logique animé par René Cori à la Réunion les 3 et 4 décembre 2009.

En réponse à...

Logo de Marc Jambon
samedi 22 décembre 2012 à 08h49 - par  Marc Jambon

Les fondements des mathématiques et en particulier la logique constituent une science très délicate, c’est pour cela qu’on évite d’en parler dans l’enseignement secondaire et même supérieur.
Dans cet article qui a le mérite d’exister et de clarifier bien des questions, il y a quand même des écritures sujettes à caution.
Notamment, dans la définition de la continuité 1.2.2, je relève plusieurs anomalies qui, curieusement ne figurent nulle part ailleurs dans ce même article, comme si il y avait deux auteurs ce qui est confirmé par le titre : notes de Nathalie Carrié du stage de René Cori.
1° La position des parenthèses, c’est le seul exemple dans cet article où on enferme dans un couple de parenthèses (quelque soit x apartenant à E) suivi de A(x).
il est préférable d’écrire
quelque soit x appartenant à E A(x)
ou
(quelque soit x appartenant à E A(x))
ceci parce que l’expression quelque soit x appartenant à E prise isolément n’a pas de sens, elle ne prend un sens qu’en agissant sur une expression dépendant de x, d’où l’absence de parenthèses ou parenthèses globales qui peuvent être utiles notamment lorsque l’on compose des quantificateurs.
De même
(Il existe y appartenant à F) B(y) est incorrect
il est préférable d’écrire
Il existe y appartenant à F B(y)
ou
(Il existe y appartenant à F B(y) )

2° Dans les définitions formelles de limite et continuité, c’est encore plus délicat parce qu’il y a des quantificateurs composés qui agissent sur une expression logique à deux (ou plus de deux) variables A(x, y)
je propose d’écrire
quelque soit x appartenant à E (il existe y appartenant à F A(x, y) )
Le A(x, y) peut être lui même :
(quelque soit z appartenant à G B(x, y, z) )
c’est en fait un cas de trois variables qui sont rendues liées successivement comme l’indique les parenthèses.

3°Je reviens sur
quelque soit x appartenant à E (il existe y appartenant à F A(x, y) ),
il n’ y a pas lieu d’écrire
quelque soit x appartenant à E (il existe yindicex appartenant à F A(x, y) )
ni
quelque soit x appartenant à E (il existe y(x) appartenant à F A(x, y) )
L’indexation ou la parenthèse pourrait laisser penser que y est une fonction de x, ce qui intuitivement parait tout à fait raisonnable, je vais y revenir, mais dans la logique des quantificateurs (dite aussi calcul des prédicats), le y dit variable liée est là uniquement pour indiquer sur quelle variable agit le quantificateur, laquelle variable se retrouve plus loin dans le A(x, y), la même notation est indispensable pour s’y reconnaître. De plus la logique classique autorisant le raisonnement par l’absurde, on ne sait asolument pas comment y dépend de x, c’est même un axiome supplémentaire, précisément l’axiome du choix non évident qui permettrait de dire que y est une fonction de x.
Il y a un moyen simple de tourner la difficulté, c’est ce qu’on appelle la « skolemisation »
(Il existe une application
x donne y(x)
de E dans F telle que A(x , y(x))
On ne doit pas mélanger les deux points de vue, le deuxième est plus fort que le premier. Dans tous les exemples usuels de l’enseignement secondaire et même supérieur lorsqu’on a continuité ou limite, c’est en fait par le deuxième point de vue de la skolemisation qu’on fait la démonstration.

Je propose, pour conclure, une écritiure qui me parait plus convenable de la continuité de f en a :
quelque soit epsimon appartenant à R*+ (il existe heta appartenant à R*+ (quelque soit x apartenant à Df (Ix – aI < heta implique If(x) – f(a)I <  epsilon ) ) )

Si on veut skolemiser, on obtient :
Il existe une application de R*+ dans R*+
epsilon donne heta(epsilon)
(quelque soit x apartenant à Df (Ix – aI < heta implique If(x) – f(a)I < epsilon))

Ceci dit, on trouve toutes ces maladresses d’écriture dans dans bon nombre de cours et manuels du secondaire et même du supérieur. On comprend pourquoi, les programmes officiels n’encourage pas à la formalisation dans l’écriture de limite et continuité !

modération a priori

Ce forum est modéré a priori : votre contribution n’apparaîtra qu’après avoir été validée par un administrateur du site.

Qui êtes-vous ?
Votre message

Pour créer des paragraphes, laissez simplement des lignes vides.