Le Théorème d’Ayme

Au XXIe siècle on peut encore découvrir des résultats inédits sur le triangle !
mercredi 25 janvier 2012
par  Alain BUSSER

Pour célébrer le théorème d’Ayme sur le triangle, une vérification expérimentale de celui-ci est proposée ci-dessous, au format CaRMetal. La construction est explicitée étape par étape.

Construction

1) Départ

Le point de départ est un triangle ABC, et la donnée de trois points P, Q, R du plan (pas tout le plan tout de même) dont dépend la suite de la construction. Le cercle circonscrit à ABC jouera aussi un rôle dans cette aventure :

2) Le point P

La droite AP (qui répond au doux nom de cévienne issue de A) coupe le côté opposé en P1. De façon analogue on définit P2 et P3 (les « pieds des céviennes »). Les trois points ainsi construits forment un triangle dépendant de P (son « triangle cévien ») :

3) Le point Q

On fait pareil pour le point Q, ce qui définit un nouveau triangle cévien dont les sommets sont, dans l’ordre, Q1, Q2 et Q3 :

4) Le point R

Légère variante : On ne considère plus les intersections de (AR), (BR) et (CR) avec le triangle mais avec le cercle circonscrit :

5) Le point S1

Le cercle circonscrit au triangle P1Q1R1 coupe le cercle circonscrit à ABC en deux points ; l’un d’eux est R1, l’autre est un point nouvellement construit (avec l’option « loin de » de CaRMetal), appelé S1 :

6) Les points S2 et S3

On construit de même les points S2 et S3 :

7) L’énoncé du théorème

Les trois droites (AS1), (BS2) et (CS3) passent par un même point.

Les doites sont représentées en rouge ci-dessous :


Figure

Manipuler les sommets du triangle ou les trois points P, Q et R permet de se convaincre de la concourance des trois droites :

la figure au format CaRMetal
télécharger d’un clic puis ouvrir avec CaRMetal

TP

La construction à elle seule peut être un exercice qui

  1. familiarise les élèves avec le logiciel de géométrie dynamique
  2. familiarise les élèves avec la démarche algorithmique [1]
  3. permet une pédagogie différenciée (les élèves les plus rapides pouvant explorer les cas particuliers de céviennes)
  4. permet de signaler qu’un théorème sur le triangle dont l’énoncé est presque élémentaire, peut encore être découvert au XIXe siècle.

Voici l’énoncé du TP :

le sujet du TP en pdf
activité de construction en géométrie dynamique
  • Plusieurs élèves ont eu du mal avec le début de la construction, parce qu’ils ont coupé avec la droite (AP), non pas la droite (BC) mais le côté [BC] du triangle. L’effet de cette erreur est le même avec GeoGebra qu’avec CaRMetal : La figure ne résiste pas à un mouvement excessif du point P. Toutefois la correction est plus facile avec GeoGebra qu’avec CaRMetal, il suffit de redéfinir le point d’intersection en remplaçant le nom du segment par celui de la droite.
  • Certains élèves trouvent logique d’utiliser la gomme pour détruire des objets (cas de GeoGebra), d’autres trouvent logique de l’utiliser pour cacher un objet (cas de CaRMetal). Concrètement, pour eux, la différence entre les deux comportements se voit surtout lorsqu’on gomme un objet dont d’autres dépendent : Ceux-ci disparaissent avec GeoGebra, pas avec CaRMetal. Mais cette différence n’est pas vraiment perçue par les élèves, dont certains font un dessin plus qu’une figure.
  • La figure n’est vraiment correcte à la fin, que si le point Sa est « loin de » Ra ; sinon il peut coller à Ra avec certains mouvements de la souris, et la concourance n’est plus assurée. Alors qu’avec CaRMetal, il suffit de cliquer sur « loin de » puis sur le point Ra, la manipulation analogue est plus compliquée sous GeoGebra (créer deux points auxiliaires avec l’outil intersection, puis un point dont les coordonnées sont égales à l’un des deux selon des variables booléennes). De toute manière aucun élève n’a eu le temps de faire la construction en moins d’une heure avec GeoGebra, la construction semblant nettement plus rapide à faire avec CaRMetal, au moins pour ceux qui ont bien utilisé des droites dès le début).

Certaines des figures du TP sont visibles ici.


[1Par exemple, pour construire le point Pa, on applique l’outil intersection à (AP) et (BC), ce qui est impossible tant qu’on n’a pas construit ces deux droites. Et tant qu’on n’a pas construit Pa, on ne peut pas construire le cercle circonscrit à PaQaRa, ce qui empêche de finir la construction.


Commentaires

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lundi 6 février 2012 à 11h19 - par  seguin

Après lecture, des remarques et des questions apparaissent naturellement
- Si on appelle I le point d’intersection du théorème , les rôles de R et de I peuvent se permuter

- Que se passe t il si on échange les rôles joués par le triangle ABC et son cercle circonscrit ?
c ’est à dire P1 et Q1 sont sur le cercle au lieu d"être sur (BC) et R1 est sur (BC) au lieu d’être sur le cercle
on obtient S1 comme deuxième point d’intersection du cercle circonscrit(P1Q1R1) avec (BC), R1 étant le premier
le résultat tient til toujours ?

- Que se passe t il si on itère la construction, I prenant la place de Q, P et R restant fixes(par exemple), on obtient I’, puis à son tour I’ remplace I ...........mouvement Brownien ?
Vite à nos logiciels !