Mathématiques constructives

Une relecture des programmes du secondaire
vendredi 5 octobre 2007
par  Marc JAMBON

Des contributions originales de Marc Jambon, maître de conférences à l’université de La Réunion, pour relire les programmes du collège et du lycée à la lumière des mathématiques constructives.

Proposition pour une axiomatique de la géométrie euclidienne plane en classe de sixième

octobre 2005, version corrigée en octobre 2007

L’axiomatique proposée est conforme au programme du B.O. hors série n° 5 du 9 septembre 2004. Dans l’esprit de ce programme, les énoncés appelés axiomes traduisent une suite de manipulations et observations. Les démonstrations sont de courtes phases déductives. Certaines propositions, au choix du professeur, pourront être remplacées par des axiomes surabondants sans démonstration. Des figures géométriques interactives, réalisées avec Cabri-géomètre, accompagnent le texte.

Axiomatique de la géométrie
Figures Cabri

Réflexion sur la notion de calcul et d’algorithme : le Continu algorithmique

janvier 2005

Une formalisation satisfaisante de la notion de fonction calculable ne peut se faire que dans un environnement « logique intuitionniste ». On propose, dans ce contexte, différents types d’algorithmes : élémentaires, primitifs récursifs et d’autres illustrés par des documents Mathematica en annexe ; on discute de leur adéquation. On dispose alors d’une bonne base pour définir un Continu algorithmique dans lequel on saura démontrer le théorème de l’éventail sans aucun autre axiome.

Continu algorithmique
Fichier Mathematica

La droite graduée : représentation intuitionniste du Continu

novembre 2003

Au collège et au lycée, la référence mathématique qui justifie les manipulations de grandeurs continues est la droite graduée. En vue d’effectuer une mesure directe, la lecture d’un instrument, type double-décimètre, fournit un nombre décimal qu’il y a lieu d’interpréter comme un encadrement, l’ordre de grandeur de l’approximation se jouant sur la dernière décimale écrite. D’autres mesures indirectes, type aire, volume, nécessitent, si on veut rester rigoureux, de faire appel au calcul sur les encadrements. Le résultat se présente alors comme un couple de deux nombres : encadrement ou valeur approchée, incertitude ; quitte à perdre de la précision par arrondi ou troncature on aimerait le faire ressembler au résultat d’une mesure directe. C’est à partir de ces idées qu’on va proposer une représentation bien formalisée d’un Continu intuitionniste insécable destiné à se substituer au R classique. On ne pourra s’empêcher de se poser la question de savoir quelles sont les applications (continues ?) morphismes de cette nouvelle structure.

Droite graduée

Géométrie avec ou sans tiers exclu ? Motivation pour l’intuitionnisme à travers la géométrie

novembre 2003

La réalité des figures géométriques n’incite pas à fonder une géométrie axiomatique sur l’axiome du tiers exclu. C’est pourquoi l’intuitionnisme de Brouwer nous paraît particulièrement intéressant.

Géométrie sans tiers exclu

Errata :
- Figure 14, p. 97 : mettre la lettre D à côté de la droite située en bas de la page.
- Proposition 4, page 98 : en troisième ligne de la démonstration, lire « ... les droites (AB) et D2 sont sécantes et aussi (AB) et D1 selon Dp2, et donc (Ds)... ».
- Proposition 7, p. 99 : en ligne 2 de la démonstration, lire « ... donc il existe B, par exemple sur D2, distinct de D1. Soit A un point de D1 ; les droites... ».

Limites à partir des suites de référence

novembre 2003

Après une période d’une vingtaine d’années (1960 à 1980) où l’on a connu une formalisation de l’enseignement des mathématiques avec prédominance du Bourbakisme (théorie générale pour aboutir au particulier), on a assisté depuis une décennie à un renversement partiel de tendance. L’introduction des limites à partir des suites de référence constitue une tentative en ce sens. Je vais ici tenter de m’y associer en présentant un exposé aussi structuré que possible basé sur les suites de référence. Une telle exposition n’existe nulle part à ma connaissance dans le cadre de l’enseignement secondaire, qui se borne à un catalogue de définitions et de résultats (dans cette rubrique comme dans d’autres), ni dans l’enseignement supérieur.

Limites et suites de référence

Relecture des programmes du secondaire à la lumière des mathématiques constructives

novembre 2003

Quelques réflexions conformes à l’esprit des programmes : « Entraîner les élèves à la pratique d’une démarche scientifique, en développant conjointement les capacités d’expérimentation et de raisonnement, d’imagination et d’analyse critique ».

Relecture constructive


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